NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 二、拉格朗日中值定理 在罗尔定理中,曲线上存在一点M,使得M点 处切线平行于x轴由于f(a)=f(b).从而该切线平 行于弦AB如果f(a)≠f(b),那么在曲线上是否仍 然存在一点M,使得M点处切线平行于弦AB呢? OD 高等數粤
二、拉格朗日中值定理 在罗尔定理中, 曲线上存在一点M, 使得M点 处切线平行于x轴. 由于f (a)= f (b). 从而该切线平 行于弦AB.如果f (a)f (b), 那么在曲线上是否仍 然存在一点M, 使得M点处切线平行于弦AB呢?
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定理2.若y=f(x)在[a,b上连续,在(a,b)内可导, 则至少存在一点ξe(a,b),使得 f"(= f(b-f(a) b y=f(x) 分析:注意到 f(b)-f(a) B K b 因此,拉格朗日定理 回答了上述问题 s x OD 高等數粤
定理2. 若y =f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b) 内可导, 则至少存在一点(a, b), 使得 b a f b f a f − − = ( ) ( ) ( ) 如图: 分析: 注意到 KAB b a f b f a = − ( ) − ( ) 因此, 拉格朗日定理 回答了上述问题. x y A 0 a B M b y =f (x)
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 要证∫()=√(b)-f(a) b 须证(5)-(b)-f(a) 0 b f(6-f(a) b 若将括号内函数看作(x)则只须证(2)=0即可 这就是罗尔定理的结论因此,只须证明x)满 足罗尔定理条件即可 OD 高等數粤
. ( ) ( ) ( ) b a f b f a f − − 要证 = 只须证 0. ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a f 即 0. ( ) ( ) ( ) = − − − x= x b a f b f a f x 若将括号内函数看作(x). 则只须证'()=0即可. 这就是罗尔定理的结论. 因此, 只须证明(x)满 足罗尔定理条件即可
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 证:构造函数,令(x)=f(x)了(b)-f(a) b 易见,(x)在[a,b上连续,在(a,b)内可导 且0(b)=f(b f(6)-f(a) b-a 0(a)=f(a) f(6-f( b-a 0(b)-(a)=(a)-f(b)-/(b)-(a) (b-a)=0 OD 高等數粤
证: 构造函数, 令 . ( ) ( ) ( ) ( ) x b a f b f a x f x − − = − 易见, (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导. 且 . ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) a b a f b f a a f a b b a f b f a b f b − − = − − − = − ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = − − − = − − b a b a f b f a b a f a f b
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 即(a)=以(b) 由罗尔定理,∈(a,b),使q'(2)=0 即r(=f(b)-f(a) b-a OD 高等數粤
即(a) = (b). 由罗尔定理, (a, b), 使' ()= . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f − − 即 =