NAN DA XUE JING PIN KE CHENG y了f(x) M x OD 高等數粤
b M a 0 x y x0 M x0 y =f (x)
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 注2.若f(∞x)在区间[a,b的端点a(或b处取得 最大(小)值.不能保证f(a)(或∫(b)=0 即,在端点M(a,f(a)减或Mb,f(b)处切线不 定平行于x轴 如图 y=f( 0 OD 高等數粤
注2. 若f (x)在区间[a, b]的端点a(或b)处取得 最大(小)值. 不能保证f '(a)(或 f '(b))=0. 即, 在端点M(a, f (a))或M(b, f (b))处切线不 一定平行于x 轴. 如图. 0 a b x y y = f (x)
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定理1.(罗尔中值定理).若yf(x)在[a,b上连续, 在(a,b)内可导,且f(a)=f(b).则在(a,b)内 至少存在一点ξ,使得f(2)=0 证:因f(x)在[a,b上连续,从而可取得最大值M f(xo)和最小值m=f(x1)其中,xo,x1∈[an,b OD 高等數粤
定理1. (罗尔中值定理). 若y=f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f (a) = f (b). 则在(a, b)内 至少存在一点 , 使得 f ( )= . 证: 因f (x)在[a, b]上连续, 从而可取得最大值M = f (x0 )和最小值m = f (x1 ). 其中, x0 , x1 [a, b]
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (1)若m=M 因m≤f(x)≤M.即,M≤f(x)≤M,所以f(x)=M 有∫'(x)=0,故∈(a2b)有∫()=0 OD 高等數粤
(1) 若 m=M , 因m f (x) M. 即, M f (x) M, 所以f (x)=M. 有f '(x )=, 故 (a, b)有 f '( )=
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (2)若m<M 因f(a)=f(b)故在m,M中必至少有 个不等于f(a)(=f(b), 不妨设Mf(x0)≠f(a)=f(b) 故x0≠a,x≠b,从而x∈(a,b) 由引理,∫'(x)=0,记2=x0, 即彐∈(a,b)使∫'(2)=0 OD 高等數粤
(2) 若 m<M , 因f (a) = f (b). 故在m, M中必至少有 一个不等于f (a) (= f (b)), 由引理, f '(x0 )=, 记 = x0 , 即 (a, b)使 f ' ()= . 不妨设M= f (x0 ) f (a)= f (b), 故 x0 a, x0 b, 从而x0 (a, b)