山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第二章 连续型随机变量及其概率密度

第二章随机变量及其分布84连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度函数一、几个常用的连续型随机变量的分布0

第二章 随机变量及其分布 §4 连续型随机变量及其概率密度 一、连续型随机变量及其概率密度函数 二、几个常用的连续型随机变量的分布

?连续型随机变量及其概率密度函数定义 2.4.1 如果对于随机变量 X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x),使对于任意实数x有 F(x)=「f(t)dt,则称X为连续型随机变量,其中f(x)称为X的概率密度函数，X服从的分布称为连续型分布Tm f(x)dx = 1.基本性质 1° 非负性 f(x)≥0；2° 规范性说明上述两条性质同时成立是判定一个函数f(x)是否为某一随机变量X的概率密度的充要条件性质 3°对于任意实数xi,xz(x, ≤x)P[x,<X ≤x,}= F(x,)- F(x) =[ f(x)dx-[ f(x)dx = [ f(x)dx.性质 4° 若f(x)在点x 处连续，则有 F(x)= f(x)性质 5° F(x)处处连续P(x< X≤x+Ax) =/f(x)dx ~ f(x)Ax (I△x<<1).说明008个不个高等数学工作室不不0

高等数学工作室 2 { } P x1  X  x2 ( ) . 2 1 f x dx x x ( ) ( )   F x2  F x1 P{x  X  x  x} f x dx x x x    ( )  f (x)x (| x | 1). f x dx f x dx x x     2 1 ( ) ( )

f(x)Sx0X x2由性质2°知道，介于曲线f(x)和x轴之间的面积等于1；由性质 3°知道，落在区间(xj,x,内的概率P(x,<X≤x,}等于区间(xj,x,l上曲线f(x)之下的曲边梯形的面积.2008不不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 3 o x f (x) 1 S1 1 x  2 x 

R说明（1）若 X为连续型随机变量，则对任一实数α，有P(X = a}= 0.证（1）设X的分布函数为 F(x)，显然P(X = a) = F(a)- F(a-)= 0.（2）设X为连续型随机变量，且a≤b，有P(a≤X≤b) = P(a<X ≤b) = P(a≤X<b) = P(a<X<b) = [" f(x)dx（3）概率为0的事件不一定是不可能事件．同样，概率为1的事件也不一定是必然事件如X ~ N(0,1), 而PX = 0 =0, (X =0} ±;又如X～ N(0,1), 而P[X ±0} =1,(X ±0}±S008拉个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 4 {  }  ( )  ( )  0.  P X a F a F a P{a  X  b}  P{a  X  b}  P{a  X  b}  P{a  X  b} f (x)dx. b a 

0.3-1<x<0例1判断分段函数 f(x)=31-x 0≤x<1其它Lo是否为概率密度解 [ f(x)dx =I'0.3dx+['(1-x)dx =0.8 ±1,f(x)不是概率密度eog个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 5   f (x)dx       1 0 0 1 0.3dx (1 x)dx  0.8  1