Ex:验证下列级数为莱布尼茨型级数，从而皆收敛 豆(-是22-w'an2-r0 (2) 1-1+11 11 35!7! ++ (2n-1): +.;(3) 00+(0+,④ 1234 前页 后页 返回
前页 后页 返回 1 1 1 1 1 1 ( 1) ; (3) 3! 5! 7! (2 1)! n n 1 2 3 4 1 2 3 4 ( 1) . (4) 10 10 10 10 10 n n n 1 1 1 1 1 ( 1) ; (2) 2 3 1 n n Ex :验证下列级数为莱布尼茨型级数, 1 1 1 1). ( 1) ; n n n 1 1 1 2). ( 1) ; (2 1)! n n n 1 1 3). ( 1) . 10 n n n n 从而皆收敛
注：莱布尼茨审敛法中，”u,↓"的条件不能去掉如 1 11 2-2+++n-n++. (*) 其通项u,→0，但不满足条件”，↓”， 于是，部分和子列： 11 1 22+品++22++ 22 ∴{s2n}无上界，limS2n不存在，故级数(*)发散 前页 后页 返回
前页 后页 返回 . n 注:莱布尼茨审敛法中," " u 的条件不能去掉 如 1 1 1 1 . ( ) 2 1 2 1 1 1 n n 0, n n 其通项u u 但不满足条件" ", 于是,部分和子列: 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 n s n n 2 2 2 2 1 3 1 1 n 1 1 2 1 2 1 n 2 , n s 无上界 2 lim , ( ) . n n s 不存在 故级数 发散
二、绝对收敛级数及其性质 若级数 山1+儿2+.+山n+. (5) 各项绝对值组成的级数 4+42+.+4n+ (6) 收敛，则称原级数（⑤）为绝对收敛级数， 定理12.12绝对收敛的级数是收敛的. 证由于级数(6)收敛，根据级数的柯西收敛准则，对 于任意正数s,总存在正数N,使得对n>N和任意正 前页
前页 后页 返回 1 2 (5) u u u n 1 2 (6) u u un 收敛, 则称原级数(5)为绝对收敛级数. 各项绝对值组成的级数 定理12.12 绝对收敛的级数是收敛的. 证 由于级数(6)收敛,根据级数的柯西收敛准则,对 二、绝对收敛级数及其性质 若级数 于任意正数 ,总存在正数 使得对 和任意正 N n N ,
整数)，有 luml+m2+.+4mrl<G 由于 lLm+1+unm+2+.+mtr ≤uni+unm2+.+4m+r <8 因此由柯西准则知级数（⑤）也收敛 对于级数（⑤）是否绝对收敛，可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察， 前页 返回
前页 后页 返回 由于 u u u m m m r 1 2 因此由柯西准则知级数(5)也收敛. u u u m m m r 1 2 对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察. 整数 r, 有 u u u m m m r 1 2
(法2)记P.=4小+4，b9.=.-4) ∴.4，=pn-gn,0≤pn≤l,0≤gn≤ 2a<m→2p.<29.<n →上u=0-<w 推论：当∑l4<o时， 4，的和数。=它的所有正电成的级数的和数， h- 减去它的所有负项的绝对值组成的级数的和数， 前页 后页 返恒
前页 后页 返回 1 ( ) n n n p q ( 2) 法 1 ( ), 2 n n n 记 p u u 1 ( ) 2 n n n q u u , n n n u p q 0 , n n p u 0 . n n q u 1 n n u 1 1 n n n n p q 且 1 n n u 1 : n n u 推论 当 时, 1 n n u s 的和数 它的所有正项组成的级数的和数, 减去它的所有负项的绝对值组成的级数的和数