注意：二元函数p(,)满足下列性质：对x,y,之∈R”有 0p(x,y≥0，p(x,y)=0当且仅当x=y; op(x,y)=p(y,x); op(x,y)<p(x,z)+p(z,y). 问题： ●一般的抽象空间中如何定义距离？ 。为什么要在一般的抽象空间中定义距离？ 日间4二#主12刀双 张样：上将交通大学数学系第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空间和压缩映射原理
5øµ ºÍ ρ(·,·) ˜ve5üµÈ ∀x, y,z ∈ R n k ρ(x, y) ≥ 0, ρ(x, y) = 0 Ö= x = y; ρ(x, y) = ρ(y, x); ρ(x, y) ≤ ρ(x,z) +ρ(z, y). ØKµ òуñòm•X¤½¬Âlº èüoá3òуñòm•½¬Âlº ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1l˘!3çò5½ny²µÂlòm⁄ÿ†Nn
距离空间的定义 设X是任意非空集合.对x,y∈X,有一实数p(x,y)与之对应，且 满足： 1)非负性：p(x,y)≥0，p(x,y)=0→x= 2)对称性：p(x,y)=p,x): 3)三角不等式：对x,y,z∈X有p(x,y)≤p(x,)+p(z,y), 称 。p(x,y)为x与y之间的距离. ·称(X,p)为以p为距离的距离空间. 以后为方便起见，在距离已知的条件下，简称X是距离空间. 如果YCX,则(Y,P)也是一个距离空间，称之为X的子空间： 张样：上海交通大学数学系 第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空问和压蜜映射原理
Âlòm½¬ X¥?øöò8‹. È∀x, y ∈ X, kò¢Í ρ(x, y) ÜÉÈA, Ö ˜v: 1) öK5: ρ(x, y) ≥ 0ßρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y; 2) È°5: ρ(x, y) = ρ(y, x); 3) nÿ ™: È∀x, y,z ∈ Xk ρ(x, y) ≤ ρ(x,z) +ρ(z, y), ° ρ(x, y) è x Üy ÉmÂl. °(X,ρ) è±ρ èÂlÂlòm. ±èêBÂÑß3ÂlÆ^áeß{° X ¥Âlòm. XJ Y ⊂ XßK (Y,ρ) è¥òáÂlòm, °Éè X fòm. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1l˘!3çò5½ny²µÂlòm⁄ÿ†Nn