二、标准正交基 1正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向 量组为正交向量组;若其中每个向量的长度都是1, 王则称为正交单位向量组(或标准正交向量组) 注意(1)这里每个向量均要求非零; (2)由单个非零向量组成的向量组也正交向量组 上页
1 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组；若其中每个向量的长度都是1, 则称为正交单位向量组(或标准正交向量组)． 二、标准正交基 注意 (1) 这里每个向量均要求非零; (2) 由单个非零向量组成的向量组也正交向量组．
2正交向量组的性质 庄定理!若维向量a142…a是一组两两正交的 王非零向量则aa2…a线性无关 证明设有,,…,几使 a1+A2 +…+a.=0 以a左乘上式两端得A1a1a1=0 由a1≠0→a1a1=m1≠0,从而有x=0 同理可得2=…=41=0故a1a2,…a,线性无关
0 0, 2 1 1 1 = 1 T 由 0 . 从而有1 = 0. 同理可得2 = = r = , , , . 故1 2 r线性无关 证明 设有 1 ,2 , ,r 使 11 + 22 ++ r = 0 以a1 T左乘上式两端,得 11 1 = 0 T 2 正交向量组的性质 非零向量,则 , , , 线性无关. 若 维向量 , , , 是一组两两正交的 r n r 1 2 1 2 定理1
3向量空间的正交基 推论m维欧氏空间中,两两正交的非零向量的 个数不超过n 王定义在n维欧氏空间中,由n个两两正交的非零 向量构成的向量组称为正交基 例1已知三维向量空间R中两个向量 2一 2 正交,试求n3使a1,a2,a3构成三维空间的一个正交 基
= − = 1 2 1 , 1 1 1 1 2 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基. 3 1 2 3 , , 3 向量空间的正交基 . n 向量构成的向量组称为正交基 定义 在 维欧氏空间中，由n个两两正交的非零 n . 维 两两正交的非零向量 个数不超过 推论 n 欧氏空间中， 的 例1 已知三维向量空间 中两个向量 3 R