第120页三、函数可导、连续与极限存在之间的关系定理2.1.2若y=f(x)在xo处可导,则在xo处必连续.注：连续未必可导；在xo处可导，在xo处必存在极限，例如f(x)=≤|在x=0处连续且极限为0,但不可导f(x)= 2, 求f(1)例2.1.1设(x)在x=1处连续且limx-1x-→f(x)(x-解 ： f(1)= lim f(x)=limx-1x-→1X->f(x)=0×2=0= lim(x - 1) · limx-1 x-1x→1f(x)-0f(x)f(x)-f(1)= lim:2:. f'(1) = lim= limx-1x-1x-1x-→>1x->1 x-→1
第 120 页 三 、函数可导、连续与极限存在之间的关系 定理2.1.2 若 y = f (x) 在 x 0处可导,则在 x 0 处必连续. 例如 f(x) = | x| 在 x = 0处连续且极限为0,但不可导. 解 1 (1) lim ( ) x f f x 1 ( ) lim ( 1) x 1 f x x x 1 1 ( ) lim( 1) lim x x 1 f x x x 注: 连续未必可导; 在 x 0处可导,在 x 0 处必存在极限. 例2.1.1 设 f(x ) 在 x = 1处连续且 求 1 ( ) lim 2, (1). x 1 f x f x 02 0 1 ( ) (1) (1) limx 1 f x f f x 1 () 0 limx 1 f x x 1 ( ) lim 2 x 1 f x x
第121页f(2x)- f(x) = A,设f(x)在x=0处连续,且lim例2.1.2X-0x证明f(x)在x=0处可导，并求f(O)证由题设条件可得 f(2x)-f(x)= A·x+o(x)f(x)- f()= A·+o()f()f()=A·+o()二f()-f()=A·+0()各式相加得 f(x)-f()= Ax·(1-)+o[(1-)x]令n→o并由f(x)在 0点连续得 f(x)-f(O)= Ax+o(x)f(x)- f(O)A= f'(O)= limx-0x-→0
第 121 页 例2.1.2 设f (x ) 在x = 0处连续,且 f (2 ) ( ) ( ) x f x Ax ox 2 22 1 2 22 2 2 22 2 2 22 () () () () ( ) ( ) ( ) () () n n nn x xx x x xx x x xx fx f A o f f Ao f f Ao f () 0 () x f Ax o x 1 1 2 22 ( ) ( ) (1 ) [(1 ) ] n nn x f x f Ax o x 0 ( ) (0) (0) limx 0 fx f f A x 证 由题设条件可得 0 (2 ) ( ) lim , x f x fx A x 证明f (x ) 在x = 0处可导,并求 f (0). 各式相加得 令 n→∞并由f (x ) 在 0点连续得
第122页例2.1.3设f(x)在(-80,+ 80)上有定义,对任意的x恒有f(x+1)=2f(x),当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2),试判断f(x)在x=0处是否可导？解：-1≤x≤0时有0≤x+1≤1(x+1)(2x+ x2)-(x+1)2x(1-x)f(x)- f(0): f'(O)= limlimx-0X→0+0x>0+0xf(x)-f(0)f'(O)= limlim=-1x-0-0x0-0x-0x: f(0)=1±-1= f"(O) ：: f(x)在x= 0 处不可导
第 122 页 例2.1.3 设f (x ) 在(- ∞,+ ∞ )上有定义,对任意的x 恒有 f (x+1) = 2f (x), 当 0 ≤ x ≤ 1 时f (x ) = x(1-x 2),试判断f (x ) 在 x = 0 处是否可导 ? 1 1 2 ( ) ( 1) ( 1) 1 1 2 2 fx fx x x 2 ( 1)(2 ) 2 x xx 0 0 ( ) (0) (0) limx 0 f x f f x 2 0 0 (1 ) lim 1 x x x x 0 0 ( ) (0) (0) limx 0 f x f f x 2 0 0 1( 1)(2 ) 2 lim 1 x x xx x f f (0) 1 1 (0) ∴ f (x ) 在x = 0 处不可导. 解 ∵ -1 ≤ x ≤0 时有 0 ≤ x + 1 ≤ 1
第123页x≤0x.(2016例2.1.4则考研真题）已知 f(x)=11,n=1..n+1nn(A)x=0是x）的第一类间断点(B)x=0是x)的第二类间断点(D)(x)在x=0处可导(C)/(x)在x=0处连续但不可导x-0f(x)-f(O)解 f'(O)= limlim=1x-0x->0-0x0-0 x-011n+1f(x)对<x<-n+1xnn注意到 n-→8 等价于x→0,由夹逼准则得f(x)f(x)-f(O)=1= f(0)fi(0)= limlimx-0x-0+0x->0+0x故,f(x)在x= 0 处可导．应选(D)
第 123 页 例2.1.4 (2016 考研真题) 已知 1 1 () 1 1< 1, 1 fx n x n n n xn , 00 00 ( ) (0) ( ) (0) lim lim 1 (0) x x 0 fx f fx f f x x 故 f (x ) 在x = 0 处可导. 应选 ( D) 解 , 0 ( ) 11 1 , , 1,2, , 1 x x f x x n nn n 则 (A) x = 0 是f(x )的第一类间断点 (B) x = 0 是f(x )的第二类间断点 (C)f(x ) 在 x = 0处连续但不可导 (D)f(x ) 在 x = 0处可导 注意到 n→∞ 等价于 x →0,由夹逼准则得 00 00 ( ) (0) 0 (0) lim lim 1 x x 0 0 fx f x f x x 对
第124页82.2导数的基本公式和求导法则一、导数的四则运算法则定理2.2.1 若函数u= u(x)及v= v(x)都有导数,则可推广到(l)[u(x)±v(x)'=u(x)±v(x)任意有限(2) [u(x)v(x)} = u(x)v(x) +u(x)v'(x)个的情形u(x)u'(x)v(x) -u(x)v(x)(3)(v(x)± 0)v?(x)v(x)证(1)令 y(x)=u(x)±v(x), 则 Ay(x)= △u(x)±△v(x)△u(x)△v(x)Ay(x)limlimAxAxAxAr-→0Ax-→0△u(x)△v(x)= limu'(x)±v'(x)± limAxAr-→>0Ax-→0△x
第 124 页 §2.2 导数的基本公式和求导法则 一 、导数的四则运算法则 定理2.2.1 若函数u = u (x ) 及v = v (x )都有导数,则 (1) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ux vx u x v x (2) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) uxvx u xvx uxv x 2 () ()() () () (3) ,( ( ) 0) () () ux u xvx uxv x v x vx v x yx ux vx yx ux vx () () () () () () , 0 0 () () () lim lim x x y x ux vx x x x 0 0 () () lim lim ( ) ( ) x x ux vx ux vx x x 证(1)令 则 可推广到 任意有限 个的情形