第115页若函数V=f(x)在区间I内的每一点都可导，则说函数f(x)在区间I内可导,即对任何xEI有f(x+△x)- f(x)(x) = lim 称为f(x)的导(函)数△xAx-→0df(x)dy可记为下列形式之一：Vdxdx导数描述函数随自变量增量的变化率！y42.导数的几何意义切线Jf()若y =f (x)在xo可导,则f (x)P(xo,J(o)在x0处的导数值表示曲线在法线P(xo,yo)处的切线斜率.x0Xo
第 115 页 若函数 y = f (x) 在区间 I 内的每一点都可导, 则说函数f (x) 在区间 I 内可导,即对任何x ∈ I 有 称为f (x ) 的 导 ( 函 ) 数 可记为下列形式之一: d d() ; ; d d y fx y x x 导数描述函数随自变量增量的变化率 ! 0 ( ) () ( ) limx f x x fx f x x 2. 导数的几何意义 若y =f (x ) 在 x 0可导,则f (x ) 在 x 0处的导数值表示曲线在 P (x 0, y 0 )处的切线斜率
第116页导数在其它一些学科中的概念在生命科学中,设生物量(如身高、体重等)的生长速度为 y=f(x),则 f(x)/f(αx)称为相对生长速度；在经济管理中,设总成本函数为c=c(x),总收益函数为R=R(x),需求函数为D=D(p)(p为价格),则c(x）称为边际成本函数;R'(x）称为边际收益函数;D'(p)E[D(p)]:称为需求弹性函数pD(p)f(x)一般地,F(x)在x处的弹性定义为 E[f(x)] =Xf(x)
第 116 页 在生命科学中,设生物量 (如身高、体重等 )的生 长速度为 y = f(x),则 称为相对生长速度; 在经济管理中,设总成本函数为 c = c (x),总收益函 数为R = R (x),需求函数为 D = D (p)(p为价格), 则 c x ( ) 称为边际成本函数; R( ) x 称为边际收益函数; 称为需求弹性函数. ( ) ( ) ( ) D p E Dp p D p 一般地 , f (x ) 在 x处的弹性定义为 ( ) ( ) ( ) f x Efx x f x f () () x f x 导数在其它一些学科中的概念:
第117页3.左、右导数定义f(x +h)- f(xo)定义2.1.2 若,lim存在,则称它为hh->0+0f(x)在x处的右导数,记为 f'(xo+O）或f*(xo)f(xo +h)- f(xo)若lim存在,则称它为hh-→>0-0f(x)在xo处的左导数,记为 f(x-O)或f'(xo)定理2.1.1 y=f(x)在xo处存在导数的充分必要条件是：f(x)的左、右导数存在且相等,即f(x +0)= f(x -0)= f(x)
第 117 页 3. 左、右导数定义 定义2.1.2 若 0 0 0 0 ( ) () lim h f x h fx h 存在,则称它为 f (x ) 在 x0 处的右导数,记为 或 0 0 f ( 0) ( ) x fx 若 0 0 0 0 ( ) () lim h f x h fx h 存在,则称它为 f (x ) 在 x0 处的左导数,记为 或 0 0 f ( 0) ( ) x fx 定理2.1.1 y =f (x ) 在 x 0处存在导数的充分必要条件是: f (x )的左 、右导数存在且相等,即 000 f ( 0) ( 0) ( ) x fx fx
第118页4.几个基本初等函数的导数(1).(C)= 0，其中C为常量(2).(sin x)' = cos x(3).(cos x)'= - sin x1(4).(log。 x) =(a >0,a ± 1))x ln a(In x)= =;(ln x)'= =xx(5).(x")'= nxn-l,(nE N+)(6).(a*)'= aα*lna,(a >0,a± 1); (e")'= e证明(1)(2)(3)(4)只需要利用导数定义即可证明
第 118 页 4. 几个基本初等函数的导数 1 (1).( ) 0 , (2).(sin ) cos (3).(cos ) sin 1 (4).(log ) , ( 0, 1); ln 1 1 (ln ) ;(ln ) (5).( ) ,( ) (6).( ) ln , ( 0, 1); (e ) e a n n x x xx C x x x x x aa x a x x x x x nx n N a a aa a 证明 (1)(2)(3)(4)只需要利用导数定义即可证明. 其中 C为常量
第119页先求函数f(x)=xn在x=a处的导数证(5)x"-a"f(x)-f(a)=lim: f'(a) = limx-→>ax-ax-a x-a= lim(xn-1 + axn-2 +...+ an-l) = nan-1x>a:. f'(x) =(x")'= nxn-1一般地有,(x)=axa-l,(其中a为任意实数)请牢记a=-1和a=时的导数！q'+hah-1h-ar=ax Ina证(6)= lima"limhhh-→>0h-→0特别地有（e"）=e
第 119 页 一般地有, ,(其中 a为任意实数 ) 证(5) 先求函数 f (x) = x n 在x = a 处的导数 () () ( ) lim lim n n xa xa f x fa x a f a x a xa 12 1 1 lim( ) nn n n x a x ax a n a 1 () ( ) n n f x x nx 1 ( ) a a x ax 请牢记 a = -1 和 a = ½ 时的导数 ! 证(6) 0 lim x h x x h a a a h ln x a a 0 1 lim h x h a a h (e ) e x x 特别地有