《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第2章 导数与微分

第125页[u(x)v(x)]证明(2)u(x + △x)v(x + △x) - u(x)v(x)= limAr-→0Axu(x+△x)(x+x)-ux)(x+△x) u(x)(x+x)-u(x)(x)= limAx△xAr-0u(x +△x) -u(x)|v(x + △x)= limAxAx->0u(x)[v(x +△x) -v(x)]+ limAxAr->0= u'(x)v(x)+u(x)v(x)

第 125 页 证明(2) [ ( ) ( )] uxvx  0 ( )( ) ()() limx ux xvx x uxvx   x      0 ( )( ) ()( ) ()( ) ()() limx ux xvx x uxvx x uxvx x uxvx   x x                     0 0 ( ) () ( ) lim () ( ) () lim x x ux x ux vx x x ux vx x vx x                u xvx uxv x ()() () () 

第126页1lim证明(3)v(x)Ax->0v(x+ △x)v(x) -v(x + △x)=limAx-0 Ax ·v(x + △x) . v(x)1v(x)v(x+△x)-v(x)- limlin△xAx->0Ar-0 v(x+△x)v(x)v?(x)Vx(xu'(x)v(x)-u(x)v'(x)v?(x)

第 126 页 证明(3) 0 () ( ) lim ( ) () x vx vx x   xvx x vx         0 0 ( ) () 1 lim lim ( )() x x vx x vx   x vx xvx       2 ()() () () ( ) u xvx uxv x v x     0 1 1 1 lim ( ) ( ) () x x v x   vx x vx                    2 ( ) ( ) v x v x    () 1 ( ) () () u x u x vx vx               1 1 () () () () u x ux vx vx          

第127页例2.2.1(I) f(x)= x3 +4cosx-sin号,求f(x), f'()解 f'(x)=3x2 -4sin x--(2)y=e*(sin x+cosx), 求 y'解 y'=(e)'-(sin x +cosx)+e*.(sin x+cosx)= e*.(sin x +cos x)+e*.(cos x -sin x)= 2e* cos x

第 127 页 例2.2.1 2 f ( ) 3 4sin xx x     2 2 3 4 4 f      (2) e (sin cos ), x y xx y    (e ) (sin cos ) e (sin cos ) x x y        xx xx 2e cos x  x 求 解 求 解 e (sin cos ) e (cos sin ) x x     x x xx   3 2 2 (1) ( ) 4cos sin , ( ) fx x x f x f      , 

第128页例2.2.2 求 (tan x);(cot x)';(sec x);(csc x)1cos'x+sin?xsin x解 (tan x):2cos? xcosxcoSx= sec2 x =1+tan2 x1-sin? x-cos? xcos x(cot x)sin? xsin? xsinx-csc2 x = -(1+cot2 x)1-sin x(sec x)' : secxtanxcos? xcos x/cos x(csc x)' :-csc x cot xsin? xsin x

第 128 页 (tan ) ;(cot ) ;(sec ) ;(csc ) xxxx   解 sin (tan ) cos x x x          2 2 2 2 cos sin 1 cos cos x x x x    2 2   sec 1 tan x x cos (cot ) sin x x x          2 2 2 2 sin cos 1 sin sin x x x x     2 2    csc (1 cot ) x x 1 (sec ) cos x x          2 sin cos sec tan x x   x  x   1 (csc ) sin x x          2 cos si cs n c cot x x    x x 例2.2.2 求

第129页二、反函数及复合函数的求导法则定理2.2.2 若函数x =f(v)在区间I,内单调、可导且f'(y) ± O, 则 y= -1(x) 在区间 Ix=(xlx=f(v), JEI,)内也Ts,1 [701-70证明由单调性知△x≠0时,△y≠0再由连续性知△x→0时△y→0,因此11A[f-l(x) = lim 4lim△xAy-→>0Ax-→0Axf'(y)Ay

第 129 页 二 、反函数及复合函数的求导法则 定理2.2.2 若函数 x =f (y )在区间 Iy内单调、可导且 f y ( ) 0,  则 y = f -1 (x) 在区间 Ix = {x|x =f (y ), y ∈ Iy } 内也可导, 且 1 1 ( ) ( ) f x f y         证明 由单调性知 △ x ≠ 0 时,△y ≠ 0 1 0 0 1 1 ( ) lim lim ( ) x y y f x x fy x y                再由连续性知 △ x → 0 时 △y →0,因此