例4研究函数∫(z)=z的解析性 解 4∫f(z+△z)-f(z)+△ △ △ △z 令Δx=Ax+边,4Δx-i △x+i 因为imn4 △f 9 4-02z △y=0 △ △v→>0 所以im2不存在 Az→0 △ 因此f(z)在复平面内处处不解析
例 4 研究函数 f ( z ) = z 的解析性. 解 z f z z f z zf + − = ( ) ( ) z z z z + − = . zz = 令 z = x + iy , zf . x i y x i y + − = lim 1 , 00 = − → = zf y 因为 x lim 1 , 0 0 = → = zf xy lim . 所以 0 不存在 zf z → 因此 f (z)在复平面内处处不解析
通过上述用定义讨论函数的解析性, 我们深深地体会到 任务!!! 用定义讨论函数的解析 性绝不是一种好办法! 寻求研究解 析性的更好 的方法
通过上述用定义讨论函数的解析性， 我们深深地体会到： 用定义讨论函数的解析 性绝不是一种好办法！ 寻求研究解 析性的更好 的方法 任务！！！
三、函数解析的充要条件 定理 设函数f(z)=l(x,y)+iw(x,y)定义在区域 D内,则∫(x)在D内一点z=x+y可导的充要条 件是:u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微并且在该 点满足柯西一黎曼方程(简称C-R方程) Ou av au av 柯西-黎曼介绍 Ox av a
三、函数解析的充要条件 定理一 点满足柯西－黎曼方程（简称 方程） 件 是 与 在 点 可 微 并且在该 内 则 在 内一点 可导的充要条 设函数 定义在区域 C R u x y v x y x y D f z D z x yi f z u x y i v x y − = + = + : ( , ) ( , ) ( , ) , , ( ) ( ) ( , ) ( , ) 柯西-黎曼介绍 , . x v y u y v x u = − =
证(1)必要性 设f(z)在D内点z=x+y可导,则 f(x+△x)-f(x)=f(z+o(△z) 令△z=△x+iy,f(z+△z)-f(z)=△+边v,f(z)=a+b 则△M+1△v=(a+b)△x+iAy)+o(△z) =(Ax-bAy)+ia△y+b△x)+(△z) 于是M=a△x-b△y+0(△z),△=bAx+aAy+o(△Az) 由此可知u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, au ay 且满足方程a b ax av
证 (1) 必要性. 设 f (z)在D内点z = x + yi 可导, f (z + z) − f (z) = f (z)z + o(z ). 令z = x + iy, f (z + z) − f (z) = u + iv, 则 于是 u = ax − by + o(z), v = bx + ay + o(z). 由此可知 u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)可微, , . x v y u b y v x u a = − − = = 且满足方程 = u + iv = (a + bi)(x + iy) + o(z ) = (ax − by) + i(ay + bx) + o(z ). f (z) = a + bi. 则
(2)充分性 ∫(z+△z)-f(z)=(x+△x,y+△y)-(x,y) +iv(x+△x,y+△y)-v(x,y) =△+i△v, 又因为u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 于是△ au O △x+△y+o(△z Oy Oy △=以△x+△y+o(△ 因此f(z+△)-f(z)=△+iv Bu. av 十L Ax++10.+(△z ax ax ay ay
(2) 充分性. f (z + z) − f (z) = [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) i v x x y y v x y u x x y y u x y + + + − + + − = u + iv, 又因为 u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)可微, y o( z), y u x x u u + + 于 是 = y o( z)． y v x x v v + + = 因此 f (z + z) − f (z) = y o( z). y v i y u x x v i x u + + + + = u + iv