解析函数的概念 1.解析函数的定义 如果函数f(z)在及动的邻域内处处可 导,那么称f(z)在解析 如果函数f(z)在区域D内每一点解析则称 ∫(z)在区域D内解析或称f(x是区域D内的 个解析函数全纯函数或正则函数 若存在区域G:闭区域DcG,且f(z在 G内解析,则称f(z)在闭区域D上解析
二、解析函数的概念 1. 解析函数的定义 , ( ) . ( ) 0 0 0 导 那么称 在 解 析 如果函数 在 及 的邻域内处处可 f z z f z z z ( ). ( ) . ( ) ( ) , 个解析函数 全纯函数或正则函数 在区 域 内解析 或 称 是区 域 内的一 如果函数 在区 域 内每一点解析 则 称 f z D f z D f z D ( ) . ( ) 内解析，则称 在闭区域 上解析 若存在区域 ：闭区域 ， 且 在 G f z D G D G f z z0 D Ｇ
根据定义可知: 函数在区域內解析与在区域内可导是等价的 但函数在一点处解析与在一点处可导不等价 是即函数在x点解析一函数在点可导 函数闭区域上解析与在闭区域上可导不等价 即函数在闭 函数在闭区 区域上解析 域上可导 说明 函数解析是与区域密切相伴的, 要比可导的要求要高得多
根据定义可知: 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但 是 函数解析是与区域密切相伴的, 要比可导的要求要高得多． 即函数在z0点解析 函数在一点处解析与在一点处可导不等价 函数在z0点可导 函数闭区域上解析与在闭区域上可导不等价 即函数在闭 区域上解析 函数在闭区 域上可导 说 明
2.解析函数的性质 (1)在区域D内解析的两个函数f(z)与g(z)的 和、差、积、商除去分母为零的点在D内解析 (2)设函数h=g(z)在z平面上的区域D内解析, 函数w=∫(h)在h平面上的区域G内解析如果 对D内的每一个点z,函数g(z)的对应值h都属 于G,那末复合函数w=∫g(z)在D内解析 即两个解析函数的复合仍是解析函数 (3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上 解析;所有解析点的集合必为开集
( ) . (1) ( ) ( ) 和、差、积、商除去分母为零的点在 内解析 在区域 内解析的两个函数 与 的 D D f z g z , [ ( )] . , ( ) ( ) . (2) ( ) , 于 那末复合函数 在 内解析 对 内的每一个点 函 数 的对应值 都 属 函 数 在 平面上的区域 内解析 如 果 设函数 在 平面上的区域 内解析 G w f g z D D z g z h w f h h G h g z z D = = = (3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上 解析；所有解析点的集合必为开集． 2. 解析函数的性质 即两个解析函数的复合仍是解析函数．
根据定理可知: (1)所有多项式在复平面内是处处解析的 (2)任何一个有理分式函数在不含分母为 o( 零的点的区域内是解桶,使分母为零的点是 它的不解析点 3.奇点的定义 如果函数f(z)在z不解析,那么称为 f(z)的奇点
根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. . , ( ) ( ) (2) 它的不解析点 零的点的区域内是解析的 使分母为零的点是 任何一个有理分式函数 在不含分母为 Q z P z 3. 奇点的定义 ( ) . ( ) , 0 0 的奇点 如果函数 在 不解析 那么称 为 f z f z z z
例3求函数∫(z) 2x3-z+3 的解析性区域及该区 z2+1 域上的导数 解当z2+1=0,即z2=时,函数f(z)不解析 所以∫(z)在复平面内除z=土i外处处解析, z=±i为它的奇点 f(z)= (10z2-1)(z+1)-(2z3-z+3)·2z z十 6z6+10z4+z2-6z-1 (z2+1)
例 3 . 1 2 3 ( ) 2 5 域上的导数 求函数 的解析性区域及该区 +− + = zz z f z 解 1 0 当z2 + = ， 所以 f (z)在复平面内除z = i 外处处解析, z = i 为它的奇点. 即 z 2 = i时，函数 f (z)不解析． 2 2 4 2 5 ( 1) (10 1)( 1) (2 3) 2 ( ) + − + − − + = z z z z z z f z . ( 1) 6 10 6 1 2 2 6 4 2 + + + − − = z z z z z