《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）第一章矩阵及其初等变换_1-3逆矩阵

三、逆矩阵的性质1.若A可逆,则A-I,A亦可逆,且(A-")-" = A, (A')-" =(A-")T.：AA-1 =A-A=I ：:A-可逆证明：且有(A-')-I = A.对AA-=A-A=I，两边取转置得(A-")"A=A"(A-I)= I所以(A")-" =(A")加油！

三、逆矩阵的性质 1 1 1 1 1 1. , , , ( ) , ( ) ( ) . T T T A A A A A A A        若 可逆 则 亦可逆 且 1 1 ( ) ( ) T T T T A A A A I     1 1 ( ) ( ) T T A A   所以  1 1 AA A A I     1 A .   可逆 1 1 ( ) . A A   且有  1 1 AA A A I   对   ，两边取转置得 证明：

2.若A可逆,数0,则A可逆,且（A)-证明：因为 AA-1 = A-A=IA-1)所以A-l)(aA)= 1(AA)即 (αA)-11加油！

证明： 1 1 AA A A I   因为   1 1 1 1 ( )( ) ( )( )   A A A A I     所以   1 1 1 ( ) A A    即    1 1 1 2. , 0, , . A A A A       若 可逆 数   则 可逆 且

3.若A,B均可逆,则AB亦可逆,且(AB)-1 =B-"A-证：(AB) (B-"A-")= A(BB-")A-1 = I: (AB)-I = B-1A-1推广：n阶矩阵A,A，,A,都可逆，则AA,…A,可逆，且(AA, .. A,)-I = A}I... A}"A-加油！

  . 1 1 1  AB  B A 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , , s s s s n A A A A A A A A A A A A      推广： 阶矩阵 ， 都可逆,则 可逆， 且（ ） 1 1 1 1 AB B A A BB A I ( )     证： ( )( )  1 1 1 3 . , , , ( ) A B AB AB B A    若 均 可逆 则 亦可 逆 且 

例 设B2=B，A=I+B，证明：A可逆且 A-1[ + B)-(I + B)A2 = A(31-A) -号A证.33(122+2B+B2B22233B2222A 可逆且加油！

例证   2 1 1 , 3 . 2 B B A I B A A I A  设      ，证明 ： 可逆且   1 3 1 2 3 2 2 2 A I A A A              3 1 2 2 2     I B I B   3 3 1 2 2 2 2 2 2      I B I B B 3 3 1 1 2 2 2 2 2      I B I B B   1 1 3 . 2 A A I A  可逆且    I