这样就得到了{xm}的一个子列{x},满足： =mas)+ma4=4。 k®￥ k®￥ 即证得A也是{xn}的一个聚点，所以 Ai E. 同理可证AIE. 定义 有界数列{xn}的最大聚点A与最小聚点 分别称为{x,}的上、下极限，记为 A=lim A=lim xn n®￥ n®￥ 前
前页 后页 返回 这样就得到了 { xn } 的一个子列 满足: 同理可证 定义 2 有界数列 的最大聚点 与最小聚点 分别称为 的上、下极限, 记为 即证得
注由定理7.4得知，有界数列必有上、下极限： 这样，上、下极限的优越性就显现出来了：一个 数列若有界，它的极限可以不存在，此时想通过 极限来研究该数列往往是徒劳的；但是有界数列 的上、下极限总是存在的，这为研究数列的性质 提供了一个新的平台
前页 后页 返回 注 由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 提供了一个新的平台. 的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质 极限来研究该数列往往是徒劳的; 但是有界数列 数列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过 这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 一个
例1考察以下两个数列的上、下极限： m1-im1-0(=1iml片 n®￥nn®￥n n®￥n 1im1)”,=1,im(1)”-1. n®￥ n+1 n®￥ n+1 从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限 之间存在着的内在联系.详细讨论请见下文. 前丙
前页 后页 返回 例1 考察以下两个数列的上、下极限: 从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限 之间存在着的内在联系. 详细讨论请见下文
二、上（下）极限的基本性质 由上、下极限的定义，立即得出： 定理7.5对任何有界数列{n},有 lim￡limx (1) n®￥ n®￥ 下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关 系 定理7.6 有界数列{x}存在极限的充要条件是： limx=limxn (2) n®￥n®￥
前页 后页 返回 二、上(下)极限的基本性质 由上、下极限的定义, 立即得出: 定理7.5 对任何有界数列 有 下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关 系. 定理7.6 有界数列 存在极限的充要条件是: (1) (2)
证设lim=A.对于任意正数e,在U(;e) n®￥ 之外{xn}只有有限项.这样，对任意的B1A,若 取，-R>A那么在U(6肉（此时必 在U(;e)之外){xn}只有有限项.这就是说，B 不是{xn}的聚点，故{xn}仅有一个聚点A,从而 lim x=limx. n®￥ n®￥ 反之，若上式成立，则{xn}的聚点惟一（设为A)
前页 后页 返回 证 设 对于任意正数 在 之外 只有有限项. 这样, 对任意的 若 只有有限项. 这就是说, B 不是 的聚点, 故 仅有一个聚点 A, 从而 取 那么在 内( 此时必 反之, 若上式成立, 则 的聚点惟一 (设为 A)