第三节 第十章 格林公式及其应用 格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十章
格林公式 单连通区域(无“洞”区 区域D分类域在通区域(有洞”区 D 域D边界L的越域的内部靠左 定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成函数 P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续一阶偏导数,则有 oo aP ax a xdy=x+dy(格林公式) D 或 Ox ay dxdy= Pdx+ ody dP Q L HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
L D 区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区 域多连通区域 ) ( 有“洞”区 域 ) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 = + − D L x y P x Q y y P x Q d d d d ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, = + D L x y x y P x Q y P Q 或 d d d d 一、 格林公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
证明:1)若D既是ⅹ-型区域,又是Y-型区域,且 D ∫1(x)≤ys02(x) y E a<x<b D:{%1()≤x≤W2(y) () d aQ drdy l d][ w2()0Q b x dx d dx Vi(y)a ∫(w2),y-gw(y)y)dy Q(x, y)d O(x, yd CBE CAE cm(xy)y+」c(x,yy HIGH EDUCATION PRESS 鱼 0@8 目录 下页返回结束
证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 则 x y x Q D d d = d c Q( ( y), y )dy 2 ( ) ( ) 2 1 d y y x x Q = CBE Q(x, y)dy + EAC Q(x, y)dy − d c Q( ( y), y )dy 1 = d c dy d c y o x E C A B a b D 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
即0dy=Cxy)dy① 同理可证 aP P(x, y)d ② Da ①、②两式相加得 oo aP )dxdy=f, Pdx+d dx oy HIGH EDUCATION PRESS 0@8 定理1目录 下页返回结束
即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: ( ) = + − D L x y P x Q y y P x Q d d d d 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域,如图 0O aP )dxd d ax a oO aP dxdy k=1 ax a ∑」。 Pdx+Qdy(OD表示D的正向边界) D d pdx+ody HIGH EDUCATION PRESS 0@8 定理1目录 下页返回结束
y o x L 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 D1 Dn D2 ( ) = − = n k D x y y P x Q k 1 d d ( ) x y y P x Q D d d − = = + n k Dk P x Q y 1 d d = + L Pdx Qdy 为有限个上述形式的区域 , 如图 ( 表示 的正向边界) Dk Dk 证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束