第七节 第十章 斯托克斯公式 环流量与旋度 一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、环流量与旋度 四、向量微分算子 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
三、环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节 一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 *四、向量微分算子 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十章
斯托克斯(Soks)公式 定理1.设光滑曲面Σ的边界I是分段光滑曲线,Σ的 侧与r的正向符合右手法则,PQ,R在包含∑在内的一 个空间域内具有连续一阶偏导数,则有 OR 0O OP OR oo oP d vdz+ zdx t dxd az ax Ox FPdx+Qdy+Rd=(斯托克斯公式),方 证:情形1∑与平行z轴的直线只交于 点,设其方程为 2: z=f(x,y),(X,DEDx 为确定起见,不妨设Σ取上侧(如图 学 HIGH EDUCATION PRESS 08 简介目录上页下页返回结束
y o z x 一 、 斯托克斯( Stokes ) 公式 定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, = Pd x + Qd y + Rd z (斯托克斯公式) 个空间域内具有连续一阶偏导数, 的 侧与 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一 证: 情形1 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为 Dx y : z = f (x, y), (x, y) n 为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图). Dx y C 则有 简介 目录 上页 下页 返回 结束
则Pdx=P(x,y,=(x,y)dx ∫nP(xy,(xy)dxdy(利用格林公式 aPaP az Idxd y y Oy az a trop ap +efy]cords O y Dy XX COS B I+f+f COS cosy HIGH EDUCATION PRESS 0@8 定理1目录 下页返回结束
则 Pd x = C P(x, y,z(x, y))d x P x y z x y x y (利用格林公式) Dx y y ( , , ( , ))d d = − x y y z z P y P Dx y d d + = − f S z P y P y cos d + = − cos , 2 2 1 1 x y + f + f = cos , 2 2 1 x y y f f f + + − = cos cos f y = − y o z x n Dx y C 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
因此fPdx=小 aP aP coS B Cosyn S aP aP COS B cosy ds az aP aP dzdx-e dxdy az 同理可证Qdy oO dxd y d vd az FRdx=小3 OR OR d ydz-dzdx OX 三式相加,即得斯托克斯公式 HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束
因此 S z P y P P x cos d cos cos d − = − S y P z P cos cos d − = x y y P z x z P d d d d − = 同理可证 Qd y y z z Q x y x Q d d d d − = Rd x z x x R y z y R d d d d − = 三式相加, 即得斯托克斯公式 ; 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
情形2曲面Σ与平行z轴的直线交点多于一个,则可 通过作辅助线面把Σ分成与z轴只交于一点的几部分 在每一部分上应用斯托克斯公式然后相加由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立.证毕 注意:如果Σ是xoy面上的块平面区域则斯托克斯 公式就是格林公式故格林公式是斯托克斯公式的特例 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 定理1目录上页下页返回结束
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例. 证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束