第四节 第十章 对面积的曲面积分 对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第十章
对面积的曲面积分的概念与性质 引例:设曲面形构件具有连续面密度P(x,y,z),求质 量M 类似求平面薄板质量的思想,采用 (5k,k25k) 大化小,常代变,近似和,求极限 的方法可得 M=im∑p(5k,nk,5k)△Sk 2>0 其中,λ表示n小块曲面的直径的x 最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
o x y z 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 = n k 1 M = ( , , ) k k k 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 量 M. 其中, 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义:设Σ为光滑曲面,f(x,yz)是定义在∑上的一 个有界函数,若对∑做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限” ∑/(5,m,)As作(x:ds 都存在,则称此极限为函数f(x,yz)在曲面∑上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分其中f(x,yz)叫做被积 函数,∑叫做积分曲面. 据此定义,曲面形构件的质量为M=1(x,y,2)dS 曲面面积为S=小dS HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
M (x, y,z)d S = 定义: 设 为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分 f (x, y,z)d S 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 函数, 叫做积分曲面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似 积分的存在性.若f(x,y,z)在光滑曲面∑上连续, 则对面积的曲面积分存在 对积分域的可加性若∑是分片光滑的,例如分成两 片光滑曲面∑1,∑2,则有 ∫-/(xy)dS=小3(xydS+,f(xy=)d 2 线性性质.设k1,k2为常数,则 (xy2k8xy小S k1ll-f(x,y, z)dS+k2l-g(x,y, z)ds HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. , , 1 2 则有 = f (x, y,z)d S 1 f (x, y,z)d S k1 f (x, y,z) k2 g(x, y,z) d S • 线性性质. = k1 f (x, y,z)dS k2 g(x, y,z)dS 在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 积分的存在性. 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、对面积的曲面积分的计算法 定理:设有光滑曲面 2:Z=Z(x,y),(X,D)EDx f(x,yz)在Σ上连续,则曲面积分 J(xy)dS存在任且有 X 「〔f(x,y,=)dS (△Ok)xy(5k,k5k ∫D(xx)1+=2(x)+2(xdy y 证明:由定义知 xy:)ds=imn∑/(5x5AS 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
o x y z 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 上连续, 存在, 且有 f (x, y,z)dS = Dx y f (x, y, ) 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 证明: 由定义知 = n k 1 0 lim → Dxy ( , , ) k k k k x y ( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束