第六节 第十章 高斯公式通量与散度 Green公式 推厂Gaus公式 高斯公式 二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第六节 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式 通量与散度 第十章
、高斯( Gauss)公式 定理1.设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲 面∑所围成∑的方向取外侧,函数P,Q,R在 上有连续的一阶偏导数,则有 OP OO OR dxdvdz ax Prydz+ Oded+ Rdxd y( Gauss a公式) 下面先证 OR dxd ydz rdxd Q2 az HIGH EDUCATION PRESS 08 目录上页下页返回结束
一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 , = Pd y d z + Qd z d x + Rdxd y x y z z R d d d = Rd xd y 下面先证: 面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 则有 (Gauss 公式) 高斯 目录 上页 下页 返回 结束
证明:设9:z1(x,y)≤2(x,y)≤2(x,y),(x,y)∈Dxy 为XY型区城,=Σ1U∑Σ2U∑3Σ1:z=z1(x,y) 2 (x,y),则 OR dxd vd l dxdy[2(x,yOR d z Q2 az y (x,y) JI.(R(, y, 2(x,D) R(x,y, z1(x, y)))dxd y y 乐 Rdxdy=(I+-+) Randy SO.R(x, J,42(x, D)dxdy-JJDR(x,,=(x, y)d xdy HIGH EDUCATION PRESS
2 3 1 z y x Dxy R(x, y, ) − R(x, y, ) d xd y : ( , ), 1 1 z = z x y 证明: 设 , = 12 3 z z z x y R z x y d ( , ) ( , ) 2 1 = Dxy ( , ) 2 z x y ( , ) 1 z x y Rd xd y = Dxy ( = 2 x y z z R d d d d xd y + 1 + 3 )Rd xd y 为XY型区域 , : ( , ), 2 2 z = z x y 则 R(x, y, )dxdy − Dxy = Dxy ( , ) 2 z x y R(x, y, ( , ))d xdy 1 z x y 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
OR 所以 dxd yd Rdxd v 20z 若Ω不是XY-型区域,则可引进辅助面 将其分割成若干个XY型区域,在辅助面 正反两侧面积分正负抵消,故上式仍成立 类似可证』 dady=小yd 0O dxd ydz Odex Q2 a 三式相加,即得所证 Gauss公式: OP OO OR dxd vdz S2 Ox dy 0z Pdydz+odzdxtrdxd HIGH EDUCATION PRESS 鱼 0@8 目录 下页返回结束
所以 x y z z R d d d = Rd xd y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 在辅助面 类似可证 x y z y Q d d d = Pd y d z + Qd z d x + Rd xdy ( ) x y z z R y Q x P d d d + + = Qd z d x x y z x P d d d = Pd y d z 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1.用 Gauss公式计算 (x-ydxdy+y-z)xd ydz 其中Σ为柱面x2+y2=1及平面z=0,z=3所围空间 闭域Ω的整个边界曲面的外侧 解:这里P=(y-z)x,Q=0,R=x-y 利用Gaus公式得 原式=』0(-) dxd yd=(用桂坐标),/g y rsin0-zrdrdedz 9丌 dolrdrl(rsin e-z)dz 思考:若∑改为内侧,结果有何变化 若∑为圆柱侧面(取外侧),如何计算? HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 闭域 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y − z)d xd y d z = (rsin − z)r dr d d z (用柱坐标) d rd r (rsin z) dz 3 0 1 0 2 0 = − 2 9 = − x 3 o z 1 y P = (y − z)x, Q = 0, R = x − y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 机动 目录 上页 下页 返回 结束