第二节 第十章 对坐标的曲线积分 对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、对坐标的曲线积分的计算法 A三、两类曲线积分之间的联系 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十章
对坐标的曲线积分的概念与性质 1.引例:变力沿曲线所作的功 B 设一质点受如下变力作用 F(x,y)=(P(x,y), o(x, y)) A 在xy平面内从点A沿光滑曲线孤L移动到点B求移 动过程中变力所作的功W 解决办法: 变力沿直线所作的功 大化小 F W=FAB cos 0 常代变′ F·AB “近似和” B 取极限 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, A B L x y 求移 W = F AB cos “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 变力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. A = F AB B F F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1)“大化 分成n个小弧段,F沿Mk1Mk…,F(5k,k) 所做的功为△W,则 B W=∑△Wk △xk 2)“常代变 X 有向小弧段MA1M用有向线段Mk=1Mk=(xk,△yk) 近似代替,在MAM上任取一点(k,m则有 △Wk≈F(5k,7k)Mk k-14k P(Sk, nk)Axk+o(sk, nk Ayk HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
Mk−1 Mk A B x y 1) “大化 小”. 2) “常代变” L 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 k k k k = P( , )x + Q( , )y k k 所做的功为 F 沿 Wk F k Mk 1Mk ( , ) − k ( , ) F k k = = n k W Wk 1 则 用有向线段 在 上任取一点 k y k x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3)近似和 W≈∑[P(5k,k)Axk+Qck,mk)yk] k 4)“取极限 W=lim∑[P(k,k)Axk+Q(k,k)④yk] 其中为n个小弧段的 FO 最大长度) L Ay B △x k X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
3) “近似和” 4) “取极限” = n k W 1 k k k k k k P( , )x + Q(ξ , )y = → = n k W 1 0 lim k k k k k k P(ξ , η )Δx + Q(ξ , η )Δy Mk−1 Mk A B x y L ( , ) F k k k y k x (其中 为 n 个小弧段的 最大长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2定义.设L为xOy平面内从A到B的一条有向光滑 弧,在L上定义了一个向量函数 F(x,y=(P(x,y), 2(x, y)) 若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,极限 im∑[P(5k,nk)Axk+Q(5k,mk)△yk →>0 记作 P(x, ydx+o(x, y)dy 都存在,则称此极限为函数F(x,y)在有向曲线弧L上 对坐标的曲线积分,或第二类曲线积分其中,P(x,y), Q(x,y)称为被积函数,L称为积分弧段或积分曲线 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在, 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分, + L P(x, y)dx Q(x, y)dy k k k P( , )x k k k + Q( , )y = n k 1 0 lim → 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, 称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束