山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 7.1 线性变换的定义
7.1 线性变换的定义
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 引倒 平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面 围绕坐标原点按逆时针方向旋转日角的变换，用R日表示. Re(a)=a' Re(B)=B' y ka' Ro(a+B)=a'+B'=Ro(a)+Ro(B) a'+B' Re(ka)=ka'=kRe(a) a+B ka
引例 平面上的向量构成实数域上的二维线性空间. 围绕坐标原点按逆时针方向旋转 角的变换，用 ℛ𝜃表示. 𝑜 𝑥 𝑦 𝛼 𝛼 ′ 𝛽 𝛽 ′ 𝛼 + 𝛽 𝛼 ′ + 𝛽 ′ 把平面 𝑘𝛼 𝑘𝛼′ ℛ𝜃 𝛼 = 𝛼 ′ ℛ𝜃 𝛽 = 𝛽 ′ ℛ𝜃 𝛼 + 𝛽 = 𝛼 ′ + 𝛽 ′ ℛ𝜃 𝑘𝛼 = 𝑘𝛼 ′ = 𝑘ℛ𝜃 𝛼 = ℛ𝜃 𝛼 + ℛ𝜃 𝛽
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、定义 定义1 线性空问V的一个变换凡称为线性变换，如果 对于V中任意的元素，B和数域P中任意数k，都有 A(a+B)=A(a)+A(B), A(ka)=kA(a). ·线性变换保持向量的加法与数量乘法. ·以后我们一般用花体拉丁字母凡，B,C,.代表V的变换， 几(a)或A代表元素在变换几下的像
二、定义 定义1 线性空间 𝑉 的一个变换 𝒜 称为线性变换，如果 对于 𝑉 中任意的元素 , 和数域 𝑃 中任意数 𝑘 ，都有 𝒜 𝛼 + 𝛽 = 𝒜 𝛼 + 𝒜(𝛽) , 𝒜(𝑘𝛼) = 𝑘𝒜(𝛼) . • 以后我们一般用花体拉丁字母𝒜, ℬ, 𝒞, ⋯代表𝑉 的变换， 𝒜(𝛼)或 𝒜𝛼代表元素 𝛼 在变换 𝒜 下的像. • 线性变换保持向量的加法与数量乘法
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 三、举例 例1线性空问V中的恒等变换或称单位变换￡，即 E(a)=a (a∈V), 以及零变换0，即 0(a)=0 (a∈V 都是线性变换
例1 线性空间 𝑉 中的恒等变换或称单位变换ℰ，即 ℰ(𝛼) = 𝛼 (𝛼 ∈ 𝑉) , 以及零变换𝒪，即 𝒪(𝛼) = 0 (𝛼 ∈ 𝑉) 都是线性变换. 三、举例
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2设V是数域P上的线性空间，k是P中某个数， 定义V的变换如下： x:a→ka,E∈V. 这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换， 显然，当k=1时，C就是恒等变换， 当k=0时，C就是零变换
例2 设 𝑉 是数域 𝑃 上的线性空间，𝑘 是 𝑃 中某个数， 定义 𝑉 的变换如下： 𝒦: 𝛼 ↦ 𝑘𝛼 , 𝛼 ∈ 𝑉 . 这是一个线性变换，称为由数 𝑘 决定的数乘变换. 显然，当 𝑘 = 1 时，𝒦就是恒等变换， 当 𝑘 = 0 时， 𝒦就是零变换