上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 注：C中“复数”与复平面上对应的“向量”看作等同. 复数加、减法的 几何意义如图： Z2 0 Z Z1-22
注: C中“复数” 与复平面上对应的“向量”看作等同. y 0 x 1 2 z + z 1 2 z − z 2 − z 2 z 1z 2 z 复数加、减法的 几何意义如图:
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 复数的三角表示及指数表示 非零复数的三角表示定义为： z=r(cos0+isine),r=z,0=Argz ex=1+ +x2 1! 21 sinx=x → cosx+isinx, x∈R. 31 5! cosx=1- 2 41 从而得到复数的指数形式(Euer公式)： z=r(cos0+isine)=re
复数的三角表示及指数表示 非零复数的三角表示定义为： z = r(cosθ + isinθ ),r =| z |,θ = Argz 2 3 5 2 4 1 ... 1! 2! sin ... cos sin , . 3! 5! cos 1 ... 2! 4! x ix x x e x x x x e xi x x R x x x =+ + + =− + + ⇒ = + ∈ =− + + 从而得到复数的指数形式（ Euler 公式 ）: (cos sin ) . θ θ θ i z = r + i = re
上复数乘、除法的几何意义： SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSIT k=Zk(cos Argzk +isin Argzk),k=1,2 2=[cos(Args+Argz2)+isin(Argz+Argz2)] 即|z22曰21‖221， Arg(z2)=Argz Argzz. 注：后一个式子应理解为集合相等
复数乘、除法的几何意义: zk =| zk | (cos Argzk + isin Argzk ), k =1,2 ⇒ | || |[cos( ) sin( )] 1 2 1 2 1 2 Argz1 Argz2 z z = z z Argz + Argz + i + 12 1 2 即 | | | || | zz z z = ， 注：后一个式子应理解为集合相等。 12 1 2 Arg z z Argz Argz () . ⋅= +
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 同理，对除法，也有： z1/z2=1|/|22l[c0s(Arg21-Arg2)） +isin(Argz-Argz2),0 13/22月3/|22 Arg(z/z2)=Argz-Argz2 注：后一个式子应理解为集合相等。 思考题：说明z的几何意义？
12 1 2 1 2 1 2 12 / | | / | |[cos( ) sin( )] 0 z z z z Argz Argz i Argz Argz z z = − +− ≠ ， | / | | | / | | 1 2 1 2 z z = z z 同理，对除法，也有： 思考题：说明iz的几何意义? 注：后一个式子应理解为集合相等。 12 1 2 Arg z z Argz Argz (/) = −
上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 1.1.4复数的乘幂与开方 作为乘积的特例，考虑非零复数z的整数次幂 z”, 利用三角表示，设z=r(cos0+isin0),得n次乘幂 z"=z"(cosnArgz +isin nArgz) =r"(cosne+isinne) 当r=1时，得De Moivre公式： (cos0+isin0)"=cosn0+isinne
作为乘积的特例,考虑非零复数 z 的整数次幂 利用三角表示,设 得n次乘幂 , n z | | (cos sin ) (cos sin ) n n n z z nArgz i nArgz r nin θ θ = + = + θ i θ nθ i nθ n (cos + sin ) = cos + sin 1.1.4 复数的乘幂与开方 zr i = + (cos sin ), θ θ 当 r=1时, 得 De Moivre 公式: