所以方程组xα+α++xα,=0只有零解即axi +ax,+...+arx,=0a12xi +a22x, + .. +ar2x, = 0(2)aini +a2nX, +...+amx,=0只有零解.由引理，方程组（2）的系数矩阵aii a21 ... aria12 a22 ... ar2A...(aina2n...am)的行秩≥r（未知量的个数）：83.4矩阵的秩A
§3.4 矩阵的秩 即 11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 r r r r n n rn r a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = （2） 只有零解. 1 1 2 2 0 r r 所以方程组 x x x + + + = 只有零解. 由引理，方程组（2）的系数矩阵 11 21 1 12 22 2 1 1 2 r r n n rn a a a a a a A a a a = 的行秩 r （未知量的个数）
从而在矩阵A的行向量组(a11,a21,...,ar1),(a12,a22,...,a),...,(a12,a2n,,arn)中一定可以找到r个线性无关的向量．不妨设(au,a21,...,ar,),(a2,a22,...,ar2),.,(ar.a2r,...,arr)是r个线性无关的行向量，则该向量组的延伸组(a1,a21,.,ar1ar+1,,.,an),.,(aira2r,arar+1r,,anr也线性无关．于是矩阵A的列秩r≥r，A的列向量同理可证r≤r.所以r=r.83.4矩阵的秩区区
§3.4 矩阵的秩 11 21 1 12 22 2 1 2 ( , , , ,),( , , , ), ,( , , , ) r r r r rr a a a a a a a a a 是r个线性无关的行向量， 中一定可以找到 r 个线性无关的向量. 从而在矩阵 A1 的行向量组 11 21 1 12 22 2 12 2 ( , , , ,),( , , , ), ,( , , , ) r r n rn a a a a a a a a a 不妨设 则该向量组的延伸组 11 21 1 1,1 1 1 2 1, ( , , , , , , ), ,( , , , , , , ) r r n r r rr r r nr a a a a a a a a a a + + 于是矩阵A的列秩 r r 1 ． 同理可证 . 1 r r 所以 r r 1 = ． 也线性无关． A的列向量