】线性空间与线性变换 11 证明有限维线性空间的维数就是它的最大线性无关组所含向量的个数设V与V 是两个同构的有限维线性空间，V到V的同构映射为o又设V是n维的，a,a,.,a。 是V的一个最大线性无关组，由性质(3)知(a,),(a,),.,o(a,)是V的n个线性无关 向量假如它还不是V的最大线性无关组，则把它扩充成最大线性无关组 0(a1),0(a2),.,(am),0(a+1）,0(a+k) (因为o是V到P"的映射，故V中的任一向量a'在V中都有原象a,使得a'=(a))而 由性质(3)推出向量组 线性无关这是一个矛盾，因此 (a),(a),.,a(am) 是'的最大线性无关组，故V的维数是n 定理1~8数域P上的任意两个n维线性空间V与'都是同构的 证明在V中选取一个基a1,a2,.,a。,则V中任一向量a可表示为 a=ka1+ka2+.+kan 又设B,B,.,B。为V的一个基，现做向量a'如下 a'=B1+kB+.+kB, 则显然a'∈”因此，P中任一向量a都对应者V中的一个确定向量a',且a'由a唯一确 定又由于两个空间在构成上完全平等，所以每个α'∈”，也能对应着V中一个唯一确定 的向量a 由上面建立的对应法则易知，若ā一→a',且B一'，则 a+B+a'+f;a一ka' 因此，V与V是同构的. 推论数域P上两个有限维线性空间同构的充要条件是维数相同， 我们小结一下这一节由前面的说明及以上关于同构的讨论，可以知道，同构的线性空 间有相同的代数性质（指那些仅与线性空间定义中两个运算有关的性质，而同构映射是保持 这两个运算的)，因此，同构的线性空间是可以不加区别的，即认为是相同的其次，由于一切 n维线性空间（相同数域P上的）都与P”同构，这就可以用较具体的P”来认识比较抽象的n 维线性空间，并且P°中许多性质照样可以搬到一般n维线性空间里来， 15线性变换的概念 设V是数域P上的线性空间这里把从V到V的映射称为V的变换，线性变换是其 中最简单、最基本的一种变换，它与矩阵、线性空间等都有密切联系，是矩阵理论的主要研究 对象之 如无特别指出，以下几节提到的线性空间，都是指数域P上的线性空间 定义1-7数域P上的线性空间V的一个变换T称为线性变换，如果对任意a,B∈V 及k∈P,都有 T(a B)=T(a)+T(B),T(ka)=kT(B)
证明 有限维线性空间的维数就是它的最大线性无关组所含向量的个数 .设 V 与 V′ 是两个同构的有限维线性空间, V 到 V′的同构映射为σ.又设 V 是 n 维的, α1 , α2 , ., αn 是 V 的一个最大线性无关组, 由性质( 3)知 σ(α1 ) ,σ(α2 ) ,.,σ(αn )是 V′的 n 个线性无关 向量 .假如它还不是 V′的最大线性无关组,则把它扩充成最大线性无关组 σ(α1 ) ,σ(α2 ) ,.,σ(αn ) ,σ(αn + 1 ) , .,σ(αn + k ) . (因为 σ是 V 到 V′的映射,故 V′中的任一向量α′在 V 中都有原象α, 使得 α′= σ(α) .) 而 由性质(3 )推出向量组 α1 ,α2 ,.,αn ,αn + 1 ,., αn + k 线性无关 .这是一个矛盾, 因此 σ(α1 ) ,σ(α2 ) ,.,σ(αn ) 是 V′的最大线性无关组, 故 V′的维数是 n . 定理 1 8 数域 P 上的任意两个 n 维线性空间 V 与 V′都是同构的 . 证明 在 V 中选取一个基α1 , α2 ,., αn ,则 V 中任一向量α可表示为 α = k1 α1 + k2 α2 + . + knαn . 又设 β1 ,β2 , .,βn 为 V′的一个基, 现做向量 α′如下 α′= k1β1 + k2β2 + . + knβn , 则显然 α′∈ V′.因此, V 中任一向量α都对应着 V′中的一个确定向量α′,且 α′由α唯一确 定 .又由于两个空间在构成上完全平等, 所以每个 α′∈ V′, 也能对应着 V 中一个唯一确定 的向量α. 由上面建立的对应法则易知,若 α→α′, 且 β→β′,则 α+ β→ α′+ β′; kα→ kα′. 因此, V 与 V′是同构的 . 推论 数域 P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是维数相同 . 我们小结一下这一节 .由前面的说明及以上关于同构的讨论, 可以知道, 同构的线性空 间有相同的代数性质(指那些仅与线性空间定义中两个运算有关的性质, 而同构映射是保持 这两个运算的) , 因此,同构的线性空间是可以不加区别的, 即认为是相同的 .其次, 由于一切 n 维线性空间( 相同数域P 上的 )都与P n 同构,这就可以用较具体的P n 来认识比较抽象的 n 维线性空间,并且P n 中许多性质照样可以搬到一般 n 维线性空间里来 . 1 .5 线性变换的概念 设 V 是数域 P 上的线性空间 .这里把从 V 到 V 的映射称为 V 的变换, 线性变换是其 中最简单、最基本的一种变换, 它与矩阵、线性空间等都有密切联系, 是矩阵理论的主要研究 对象之一 . 如无特别指出,以下几节提到的线性空间, 都是指数域 P 上的线性空间 . 定义 1 7 数域 P 上的线性空间 V 的一个变换 T 称为线性变换,如果对任意 α,β∈ V 及 k∈P, 都有 T (α + β) = T(α) + T(β) , T( kα) = k T(β) . 1 线性空间与线性变换 11
12 矩阵分析引论 由此定义可见，线性变换T是V→V的“保持向量加法”及“数量乘法”的变换线性变 换T的定义也可以叙述为 若T是V到V的映射，如果在T的作用下，a→a',B',则有 a+Ba'+B'ka ka' 这里a,B为V中任意元素，k为P中任意数，则T便称为线性空间V的一个线性变换 把上述的T(a)或a'称为向量aeV在线性变换T下的象，而a叫T(a)或a'的原 象我们约定，V的两个线性变换T与S认为是相等的，当且只当对任何α∈V,均有 T(a)=S(a). 例1-9对每个a=(x,x,x)eR,由等式 T(a)=(x+-3x34,3x1-3x+4x4,0,0)∈R 定义的变换T是R的线性变换 例1-10设B,C是Rx“的两个给定的矩阵，如果对任一X∈Rx",定义T为 T(X)=BXC, 则T是线性空间Rx“的线性变换 例1-11在实多项式空间R[t]中，由 (0)=是，（p()∈ 定义的变换（求导运算）T是线性变换 例1-12在由闭区间[a,b上全体连续函数构成的实线性空间R[a,b]中，由 T(ft)=∫f(4)du(a<t≤b) 定义的变换也是线性变换 例1-13把线性空间V的每个向量都映射到零向量的变换叫做零变换：把V中每个 向量都映射到自身的变换叫做单位变换易知这两个变换都是线性变换 线性变换有下列简单性质」 (1)若T是线性变换则 T(0)=0;T(-a)=-T(a) 这是因为 T(0)=T(0a)=0T(a)=0 T(-a)=T[(-1)a]=(-1)T(a)=·T(a) (2)线性变换T保持向量的线性组合与线性关系式，即 B-k (B)(.);()-0 (3)线性变换把线性相关向量组变成线性相关向量组， 这两个性质的证明是容易的，留给读者作为练习注意，由(3)不能认为线性变换都能把 线性无关向量组变为线性无关向量组，一个简单例子是零变换，它把任何线性无关向量组变 成线性相关向量组{0} 读者可能发现同构映射与线性变换的定义有点类似，数学上像这种相近、相似的概念很 多，但应加以区分读者试比较这两个概念的相同点和不同点
由此定义可见,线性变换 T 是 V→ V 的“保持向量加法”及“数量乘法”的变换 .线性变 换 T 的定义也可以叙述为: 若 T 是 V 到 V 的映射,如果在 T 的作用下,α→α′,β→β′,则有 α+ β→ α′+ β′; kα→ kα′. 这里 α,β为 V 中任意元素, k 为 P 中任意数, 则 T 便称为线性空间 V 的一个线性变换 . 把上述的 T (α)或 α′称为向量α∈ V 在线性变换 T 下的象, 而 α叫 T (α) 或 α′的原 象 .我们约定, V 的两个线性变换 T 与 S 认为是相等的, 当且只当对任何 α∈ V ,均有 T (α) = S(α) . 例 1 9 对每个 α= ( x1 , x2 , x 3 , x4 ) ∈R 4 ,由等式 T(α) = ( x1 + x2 - 3 x3 - x4 , 3 x1 - x2 - 3 x3 + 4 x4 , 0 , 0) ∈ R 4 定义的变换 T 是 R 4 的线性变换 . 例 1 10 设 B, C 是R n× n 的两个给定的矩阵,如果对任一 X∈R n× n , 定义 T 为 T( X) = BXC, 则 T 是线性空间R n× n的线性变换 . 例 1 11 在实多项式空间 R[ t]中, 由 T( p( t) ) = d d t p( t) , p( t) ∈ R[ t] 定义的变换(求导运算) T 是线性变换 . 例 1 12 在由闭区间 [ a, b]上全体连续函数构成的实线性空间 R[ a, b]中, 由 T ( f( t) ) =∫ b a f ( u) d u ( a < t ≤ b) 定义的变换也是线性变换 . 例 1 13 把线性空间 V 的每个向量都映射到零向量的变换叫做零变换; 把 V 中每个 向量都映射到自身的变换叫做单位变换 .易知这两个变换都是线性变换 . 线性变换有下列简单性质: (1 ) 若 T 是线性变换,则 T( 0) = 0 ; T( - α) = - T(α) . 这是因为 T (0 ) = T (0α) = 0 T(α) = 0; T( - α) = T [ ( - 1)α] = ( - 1 ) T(α) = - T(α) . (2 ) 线性变换 T 保持向量的线性组合与线性关系式,即 β = ∑ m i = 1 kiαi T(β) = ∑ m i = 1 ki T (αi ) ; ∑ m i = 1 kiαi = 0 ∑ m i = 1 ki T (αi ) = 0 . (3 ) 线性变换把线性相关向量组变成线性相关向量组 . 这两个性质的证明是容易的,留给读者作为练习 .注意,由( 3) 不能认为线性变换都能把 线性无关向量组变为线性无关向量组 .一个简单例子是零变换, 它把任何线性无关向量组变 成线性相关向量组 {0} . 读者可能发现同构映射与线性变换的定义有点类似,数学上像这种相近、相似的概念很 多,但应加以区分 .读者试比较这两个概念的相同点和不同点 . 12 矩阵分析引论
】线性空间与线性变换 13 现在来讨论线性变换的运算设V是数域P上的线性空间，T,T,T是V的三个线 性变换，定义下列三种运算 (1)线性变换的和 对每个a∈V,满足 T(a)=T(a)+T(a) 的变换T称为线性变换T与T的和，并记作T=T+I 易证T了+T,也是V的线性变换 (2)线性变换的乘积 对每个a∈V,满足 T(a)=T(1(a) 的变换T称为线性变换T与万：的乘积，记作T=五万，则T也是线性变换（事实上，大 家可以发现乘积就是函数复合运算的一个推广) 证明对任何a,B∈V及k∈P,有 (TT)(a+)=T(T(a+)=T(T(a)+T() =T(T(a)+T(())=(T)(a)+(TT3)(). T T:(ka)=T(Ta (ka))=Ti(kT(a)) =(kT)(T(a))=(kTT)(a) (3)线性变换的数量乘法 对每个a∈V.k∈P.满足 T(a)=k(T(a)) 的变换T称为数k与线性变换T的数量乘积（法），记为T=T易证kT也是线性变 换(-1)简记为T 上述三种运算是线性变换的基本运算，这些运算具有下列性质」 (1)对线性空间V的任意三个线性变换T,乃，了，结合律成立，即有 五(T)=(T) (2)V中线性变换的加法满足交换律及结合律 (3)V中线性变换的乘法对加法的分配律成立 (4)V的零变换0及V的任一线性变换T,满足关系式 T+0=T,T+(-T)=0 (5)数量乘法满足以下关系式 (kl)T=k(IT),(k+1 T=kT+IT, k(T:T:)=kT:+kT:,IT=T. 这里，k,1∈P,T,及T为V的任意线性变换 由于零变换及单位变换都是线性变换，所以线性空间V的所有线性变换组成的集合不 会是空集，因而由以上的讨论得知：数域P上的线性空间V的全体线性变换组成的集合，对 于线性变换的加法及数量乘法，也构成数域P的一个线性空间，并用L()来表示 我们来研究线性变换的逆变换的问题 定义18设I为线性空间V的单位线性变换，T为V的线性变换如果存在V的一
现在来讨论线性变换的运算 .设 V 是数域 P 上的线性空间, T1 , T2 , T3 是 V 的三个线 性变换,定义下列三种运算: (1 )线性变换的和 对每个 α∈ V, 满足 T(α) = T1 (α) + T2 (α) 的变换 T 称为线性变换 T1 与 T2 的和, 并记作 T = T1 + T2 . 易证 T1 + T2 也是 V 的线性变换 . (2 )线性变换的乘积 对每个 α∈ V, 满足 T(α) = T1 ( T2 (α) ) 的变换 T 称为线性变换 T1 与 T2 的乘积, 记作 T = T1 T2 , 则 T 也是线性变换( 事实上, 大 家可以发现乘积就是函数复合运算的一个推广) . 证明 对任何 α,β∈ V 及 k∈P ,有 ( T1 T2 ) (α + β) = T1 ( T2 (α+ β) ) = T1 ( T2 (α) + T2 (β) ) = T1 ( T2 (α) ) + T1 ( T2 (β) ) = ( T1 T2 ) (α) + ( T1 T2 ) (β) , T1 T2 ( kα) = T1 ( T2 ( kα) ) = T1 ( kT2 (α) ) = ( kT1 ) ( T2 (α) ) = ( kT1 T2 ) (α) . (3 )线性变换的数量乘法 对每个 α∈ V, k∈P, 满足 T (α) = k ( T1 (α) ) 的变换 T 称为数 k 与线性变换 T1 的数量乘积 (法 ) , 记为 T = kT1 .易证 kT1 也是线性变 换 .( - 1) T1 简记为 - T1 . 上述三种运算是线性变换的基本运算,这些运算具有下列性质: (1 ) 对线性空间 V 的任意三个线性变换 T1 , T2 , T3 , 结合律成立,即有 T1 ( T2 T3 ) = ( T1 T2 ) T3 . (2 ) V 中线性变换的加法满足交换律及结合律 . (3 ) V 中线性变换的乘法对加法的分配律成立 . (4 ) V 的零变换 0 及 V 的任一线性变换 T , 满足关系式 T + 0 = T , T + ( - T) = 0 . (5 )数量乘法满足以下关系式 ( kl) T = k ( l T) , ( k + l) T = k T + l T , k ( T1 + T2 ) = kT1 + k T2 , 1 T = T . 这里, k , l∈P , T1 , T2 及 T 为 V 的任意线性变换 . 由于零变换及单位变换都是线性变换,所以线性空间 V 的所有线性变换组成的集合不 会是空集,因而由以上的讨论得知: 数域 P 上的线性空间 V 的全体线性变换组成的集合,对 于线性变换的加法及数量乘法,也构成数域 P 的一个线性空间,并用 L( V )来表示 . 我们来研究线性变换的逆变换的问题 . 定义 1 8 设 I 为线性空间 V 的单位线性变换, T 为 V 的线性变换 .如果存在 V 的一 1 线性空间与线性变换 13
14 矩阵分析引论 个线性变换S,使得 TS=ST=1, 则称线性变换T是可逆的，而S称为T的逆变换，记为T 读者可以证明：当线性变换T可逆时，其逆变换T'也是线性变换，当然，正如矩阵那 样，并非每个线性变换都是可逆的 例1-14设T是线性空间V的线性变换，则 T()={Ta|a∈p} 是V的子空间，称为象子空间证明留给读者.T(V)的维数叫做线性变换T的秩 例1-15设T是线性空间V的线性变换，则集合 K={a∈vTa=0} 是V的子空间，证明留给读者这个子空间称为线性变换T的核(kernel),并记为ker(T) 或T'(0)(这只是代表0的原象组成的集合，而不表示T的可逆) 由例1-14及例1-15可以进一步推得下述定理 定理1~9设T是n维线性空间V的线性变换，则有维数关系 dim T(V)+dim T(0)=n. 证明设dimT(0)=3,a,a,.,a,是核T'(0)的一个基我们将它扩充，使 a1,a,.,4,B,B,.,B 成为V的一个基，显然s+t=n如能证明 dim T(V)=t, 则定理便得证现设a是V的任一向量，则有 a=∑ka,+EB 由于T(a)=0(i=1,2,.,5）,所以 T(a)=∑T() 当然，T(a)∈T(),所以上式表示T()中的任一向量都是向量组 T(B),T(B),.,T(B) 1-15 的线性组合现证向量组1一15线性无关设有 ∑GT(B)=0. 1-16 则有 1五cB=0 所以 B=cR∈T'(O) 从而B可由T(0)的基a1,a:,.,a,线性表出，即 B=五4a, 因此得 合sB·石40=0
个线性变换 S ,使得 TS = ST = I, 则称线性变换 T 是可逆的, 而 S 称为 T 的逆变换, 记为 T - 1 . 读者可以证明: 当线性变换 T 可逆时, 其逆变换 T - 1 也是线性变换 .当然, 正如矩阵那 样,并非每个线性变换都是可逆的 . 例 1 14 设 T 是线性空间 V 的线性变换,则 T( V ) = Tα α∈ V 是 V 的子空间, 称为象子空间 .证明留给读者 . T ( V )的维数叫做线性变换 T 的秩 . 例 1 15 设 T 是线性空间 V 的线性变换,则集合 K = α∈ V Tα = 0 是 V 的子空间,证明留给读者 .这个子空间称为线性变换 T 的核 ( kernel) , 并记为 ker( T) 或 T - 1 ( 0) (这只是代表0的原象组成的集合, 而不表示 T 的可逆 ) . 由例 1 14 及例 1 15 可以进一步推得下述定理 . 定理 1 9 设 T 是 n 维线性空间 V 的线性变换,则有维数关系 dim T ( V ) + dim T - 1 (0 ) = n . 证明 设 dim T - 1 ( 0) = s,α1 ,α2 , .,αs 是核 T - 1 ( 0)的一个基 .我们将它扩充,使 α1 , α2 ,., αs , β1 ,β2 , .,βt 成为 V 的一个基, 显然 s + t = n .如能证明 dim T( V ) = t , 则定理便得证 .现设 α是 V 的任一向量,则有 α = ∑ s i = 1 kiαi + ∑ t j = 1 ljβj . 由于 T (αi ) = 0 ( i = 1, 2, ., s) , 所以 T(α) = ∑ t j = 1 lj T(βj ) . 当然, T(α)∈ T( V ) , 所以上式表示 T( V )中的任一向量都是向量组 T(β1 ) , T(β2 ) , ., T (βt ) 1 15 的线性组合 .现证向量组 1 15 线性无关 .设有 ∑ t i = 1 ci T (βi ) = 0 . 1 16 则有 T ∑ t i = 1 ciβi = 0 . 所以 β = ∑ t i = 1 ciβi ∈ T - 1 ( 0) . 从而 β可由 T - 1 (0 )的基 α1 ,α2 , .,αs 线性表出, 即 β = ∑ s j = 1 djαj , 因此得 ∑ t i = 1 ciβi - ∑ s j = 1 djαj = 0 . 1 17 14 矩阵分析引论
】线性空间与线性变换 15 但已知a1,a2,.,4,与B,B,.,B是V的一个基，故式1-17中一切G=0,一切d=0 (i=1,2,.,1j=1,2,.,s)因此，从式1-16导出了G=6=.=c=0,这证明了向量 组1-15是线性无关的 这样，就证明了 T(B),T(B),.,T(B) 是T()的一组基，从而T()的维数等于t定理得证， 16线性变换的矩阵 在上节已经得知：线性空间的所有线性变换组成的集合，对于线性变换的加法及数量乘 法，也构成一个线性空间L()若V是数域P上的n维线性空间，那么L()的维数是多 少？它与线性空间Px”有什么关系？这就是本节要讨论的问题 先来证明一个定理 定理1-10设V是数域P上的一个n维线性空间，a1,a,.,a。是它的一个基，又 B,B,.,B是V的任意n个向量，则存在唯一的一个线性变换T,使得 T(d)=B,T(a:)=B,T(a.)=B. 1-18 证明先来证明存在性对V中任一向量ā，有 a=ka, 由等式 T(a)=∑kB 1-19 定义V的一个变换T,易证T是线性变换现取a=a,则由式1-19即得 T(a)=B,(i=1,2,.,n) 即线性变换T是满足条件1-18的 再证唯一性若除了满足条件1~18的线性变换T外，还有线性变换S也满足条件 S(a)=B,S(a)=B,.,S(a)=B。 现任取a∈V,且设 a=日ka, 则有 Ta)=1ka=kT(a)=公6B: 同理有 S(a) 即对任一a∈V,都有T(a)=S(),所以T=S这就证明了唯一性证毕 此定理的唯一性部分说明：一个线性变换完全被它的一个基上的作用（基的象）所决定· 为简单起见，以后我们用Ta代替T(a)
但已知 α1 ,α2 , .,αs 与β1 ,β2 ,.,βt 是 V 的一个基, 故式 1 17 中一切 ci = 0, 一切 dj = 0 ( i = 1, 2, ., t ; j = 1 ,2 ,., s) .因此, 从式 1 16 导出了 c1 = c2 = . = ct = 0, 这证明了向量 组 1 15 是线性无关的 . 这样,就证明了 T (β1 ) , T (β2 ) , ., T(βt ) 是 T ( V )的一组基, 从而 T ( V )的维数等于 t .定理得证 . 1 .6 线性变换的矩阵 在上节已经得知:线性空间的所有线性变换组成的集合, 对于线性变换的加法及数量乘 法, 也构成一个线性空间 L( V ) .若 V 是数域 P 上的 n 维线性空间, 那么 L( V ) 的维数是多 少 ? 它与线性空间P n× n 有什么关系 ? 这就是本节要讨论的问题 . 先来证明一个定理 . 定理 1 10 设 V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间,α1 ,α2 , .,αn 是它的一个基, 又 β1 ,β2 , .,βn 是 V 的任意 n 个向量, 则存在唯一的一个线性变换 T ,使得 T (α1 ) = β1 , T(α2 ) = β2 , ., T(αn ) = βn . 1 18 证明 先来证明存在性 .对 V 中任一向量α,有 α = ∑ n i = 1 kiαi , 由等式 T (α) = ∑ n i = 1 kiβi 1 19 定义 V 的一个变换 T , 易证 T 是线性变换 .现取 α= αi ,则由式 1 19 即得 T(αi ) = βi ( i = 1, 2, ., n) . 即线性变换 T 是满足条件 1 18 的 . 再证唯一性 .若除了满足条件 1 18 的线性变换 T 外, 还有线性变换 S 也满足条件 S (α1 ) = β1 , S (α2 ) = β2 , ., S (αn ) = βn . 现任取 α∈ V, 且设 α = ∑ n i = 1 kiαi , 则有 T (α) = T ∑ n i = 1 kiαi = ∑ n i = 1 ki T (αi ) = ∑ n i = 1 kiβi ; 同理有 S(α) = ∑ n i = 1 kiβi . 即对任一 α∈ V, 都有 T (α) = S(β) ,所以 T = S .这就证明了唯一性 .证毕 . 此定理的唯一性部分说明:一个线性变换完全被它的一个基上的作用( 基的象)所决定 . 为简单起见,以后我们用 Tα代替 T(α) . 1 线性空间与线性变换 15