《高等代数研究》课程教学资源（书籍文献）矩阵分析引论（第四版，华南理工大学出版社）

16 矩阵分析引论 下面我们着手研究线性变换与矩阵的关系，亦即本节开头提出的主要问题 设V是数域P上的n维线性空间，T是V的一个线性变换，现取定V的一个基 a,a,.,a,则每个Ta,都是V中向量(i=1,2,.,n),故可设 [Ta=aa1+a!a,+.+a1an Ta2=aa1+a2a2+.+a2an 1-20 Ta。=a.a,+ana,+.+ana。 或写成形式矩阵 (Ta1,Ta,.,Tam)=(a1,a2,.,am)A 把矩阵 A aa.ag aa. 称为线性变换T在基a,a,.,a,下的矩阵 由此可见，在线性空间V取定一个基后，V的每一个线性变换T(∈L(V)对应者 个矩阵A(∈Px“),其对应方式由式1-20反映出来现把这个对应关系写为T一A,由定 理110可推知这个对应是一一对应并且，如果T一4，万一4k,则有 +五→A+A,kT一k4 这由式1-20是很易推得的这里k∈P是任意数这样已建立了下述定理 定理1-11数域P上n维线性空间V的所有线性变换构成的线性空间L(V),在取 定V的一个基之下，它与数域P上一切n×n的矩阵构成的线性空间Px"是同构的 推论dimL(V)=dimp*x"=n 前面已经讲过，同构的线性空间有相同的代数性质，因而同构的线性空间可以看做是 样的，于是P”的许多性质对于L()也是成立的不仅如此，应用线性变换与矩阵的对应 关系，还可以证明下述性质. 定理1-12设a1,a:,.,a。是数域P上n维线性空间V的一个基，在这个基下，按 照式1-20建立的线性变换与矩阵的对应关系，则有 (1)线性变换的乘积对应矩阵的乘积； (2)可逆线性变换对应的矩阵也可逆，且逆变换对应于逆矩阵 证明(1)设T,S是线性空间V的两个线性变换，在所取定的基下，它们对应的矩阵 分别是A,B即是说，对于i=1,2,.,n,有 （Ta1,Ta2,.,Tan）=(a1,a2,.,a,)A (Sa1,Sa,.,San)=(a1,az,.,a)B, 由此得 (TSa1,TSa,.,TSa)=T(Sa,Sa,.,San) =T(a1,a2,.,an)B=(a1,a2,.,an)AB 因此，线性变换的乘积TS在所取基下的矩阵是AB换言之，当T·A及S→B时，则有

下面我们着手研究线性变换与矩阵的关系,亦即本节开头提出的主要问题 . 设 V 是 数域 P 上 的 n 维 线性空间, T 是 V 的一个 线性 变换, 现取 定 V 的一个 基 α1 ,α2 ,.,αn ,则每个 Tαi 都是 V 中向量 ( i = 1, 2,., n ) , 故可设 Tα1 = a11 α1 + a21 α2 + . + an1 αn Tα2 = a12 α1 + a22 α2 + . + an2 αn . Tαn = a1 nα1 + a2 nα2 + . + annαn , 1 20 或写成形式矩阵 ( Tα1 , Tα2 , ., Tαn ) = (α1 ,α2 ,., αn ) A . 把矩阵 A = a11 a12 . a1 n a21 a22 . a2 n . . . an1 an2 . an n 称为线性变换 T 在基α1 , α2 ,., αn 下的矩阵 . 由此可见, 在线性空间 V 取定一个基后, V 的每一个线性变换 T( ∈ L ( V ) ) 对应着一 个矩阵 A (∈P n× n ) , 其对应方式由式 1 20 反映出来 .现把这个对应关系写为 T→ A, 由定 理 1 10 可推知这个对应是一一对应 .并且,如果 T1 → A1 , T2 → A2 , 则有 T1 + T2 → A1 + A2 , k T1 → kA1 . 这由式 1 20 是很易推得的 .这里 k∈P 是任意数 .这样已建立了下述定理 . 定理 1 11 数域 P 上 n 维线性空间 V 的所有线性变换构成的线性空间 L( V ) , 在取 定 V 的一个基之下, 它与数域 P 上一切 n× n 的矩阵构成的线性空间P n× n 是同构的 . 推论 dim L( V ) = dimP n× n = n 2 . 前面已经讲过,同构的线性空间有相同的代数性质, 因而同构的线性空间可以看做是一 样的,于是P n× n 的许多性质对于 L( V )也是成立的 .不仅如此, 应用线性变换与矩阵的对应 关系,还可以证明下述性质 . 定理 1 12 设 α1 ,α2 ,., αn 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个基, 在这个基下, 按 照式 1 20 建立的线性变换与矩阵的对应关系, 则有 (1 ) 线性变换的乘积对应矩阵的乘积; (2 ) 可逆线性变换对应的矩阵也可逆, 且逆变换对应于逆矩阵 . 证明 (1 )设 T , S 是线性空间 V 的两个线性变换, 在所取定的基下, 它们对应的矩阵 分别是 A , B .即是说, 对于 i = 1 ,2 ,., n, 有 ( Tα1 , Tα2 , ., Tαn ) = (α1 ,α2 ,., αn ) A, ( Sα1 , Sα2 ,., Sαn ) = (α1 ,α2 ,., αn ) B, 由此得 ( T Sα1 , TSα2 ,., TSαn ) = T( Sα1 , Sα2 ,., Sαn ) = T(α1 ,α2 , .,αn ) B = (α1 ,α2 , .,αn ) AB 因此,线性变换的乘积 TS 在所取基下的矩阵是 AB .换言之, 当 T→ A 及 S→ B 时, 则有 16 矩阵分析引论

】线性空间与线性变换 17 TS→AB (2)又，显然单位线性变换1在基a1,a:,·,a。下的矩阵是单位矩阵E,即变换I对应 于矩阵E所以，当有ST=TS=I时，便有BA=AB=E定理证毕 最后，研究当基改变时线性变换的矩阵的变化规律 定理1-13设V是数域P上的一个n维线性空间，a1,a2,.,a。及B,B,.,B是 V的两个基，从前一个基到后一个基的过渡矩阵是C又设T是V的一个线性变换，它在 前后两个基下的矩阵分别是A与B,则有B=C'AC 证明由假设有 (B,2,.,)=（q1,a红.，am)C 以及 (TB,TB,.,TB)=(B,B,.,B)B, （Ta,Ta,.,Tan）=(a,a,a）A, 则有 (Tg,7B2,.,7B.)=T(B,B,.,Bn)=T(a1,a2,.,an)C =(a1,a,.,a）AC=(B,B,.,Bn)CAC 证毕 定义1-9若A,B∈Px”,如果存在可逆矩阵CePx",使得 B=C AC 则称矩阵A相似于矩阵B,并记作A~B这时也简单地说A与B相似 由定义易知，矩阵的相似是等价关系，即相似具有下述三个性质： (1)自反性A~B, (2)对称性若A一B,则B一A, (3)传递性若A~B且B~C,则A~C A,B,Cep·读者可自证之， 定理1-13表明一个重要事实：一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的反过来也可 以证明，两个相似矩阵总可以看成某一线性变换在两个不同基下的矩阵 相似矩阵的概念及一些简单性质，读者已经熟知，兹不赘述 线性变换和矩阵的上述相互关系是很重要的线性空间、线性变换及矩阵三者之间都有 着密切联系，熟悉这种联系，对深入研究矩阵理论是很有益处的， 1.7不变子空间 定义1-10设T是线性空间V的一个线性变换，又W是V的一个子空间若对任一 a∈W,都有Ta∈W,亦即 T(W)W 1-20 则称W是线性变换T的不变子空间，也就是说子空间W对线性变换T是不变的， 由定义可知，零空间及V本身都是T的不变子空间 现设V,是n维线性空间V的两个子空间，且都是线性变换T的不变子空间如

TS→ AB . ( 2) 又, 显然单位线性变换 I 在基α1 ,α2 ,., αn 下的矩阵是单位矩阵 E,即变换 I 对应 于矩阵 E .所以, 当有 S T = TS = I 时,便有 BA = AB = E .定理证毕 . 最后,研究当基改变时线性变换的矩阵的变化规律 . 定理 1 13 设 V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间,α1 , α2 , .,αn 及β1 ,β2 , .,βn 是 V 的两个基, 从前一个基到后一个基的过渡矩阵是 C .又设 T 是 V 的一个线性变换, 它在 前后两个基下的矩阵分别是 A 与 B, 则有 B = C - 1 AC . 证明 由假设有 (β1 ,β2 ,.,βn ) = (α1 ,α2 , .,αn ) C, 以及 ( Tβ1 , Tβ2 , ., Tβn ) = (β1 ,β2 , .,βn ) B, ( Tα1 , Tα2 , ., Tαn ) = (α1 ,α2 ,., αn ) A, 则有 ( Tβ1 , Tβ2 ,., Tβn ) = T(β1 ,β2 , .,βn ) = T (α1 ,α2 ,.,αn ) C = (α1 ,α2 , .,αn ) AC = (β1 ,β2 , .,βn ) C - 1 AC . 证毕 . 定义 1 9 若 A , B∈P n× n , 如果存在可逆矩阵 C∈P n× n , 使得 B = C - 1 AC 则称矩阵 A 相似于矩阵 B, 并记作 A～ B .这时也简单地说 A 与 B 相似 . 由定义易知,矩阵的相似是等价关系, 即相似具有下述三个性质: (1 ) 自反性 A～ B; (2 ) 对称性 若 A～ B,则 B～ A; (3 ) 传递性 若 A～ B 且 B～ C, 则 A～ C . A , B, C∈P n× n .读者可自证之 . 定理 1 13 表明一个重要事实: 一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的 .反过来也可 以证明,两个相似矩阵总可以看成某一线性变换在两个不同基下的矩阵 . 相似矩阵的概念及一些简单性质,读者已经熟知, 兹不赘述 . 线性变换和矩阵的上述相互关系是很重要的 .线性空间、线性变换及矩阵三者之间都有 着密切联系,熟悉这种联系, 对深入研究矩阵理论是很有益处的 . 1 .7 不变子空间 定义 1 10 设 T 是线性空间 V 的一个线性变换,又 W 是 V 的一个子空间 .若对任一 α∈ W ,都有 Tα∈ W ,亦即 T ( W ) W , 1 20 则称 W 是线性变换 T 的不变子空间,也就是说子空间 W 对线性变换 T 是不变的 . 由定义可知,零空间及 V 本身都是 T 的不变子空间 . 现设 V1 , V2 是 n 维线性空间 V 的两个子空间, 且都是线性变换 T 的不变子空间 .如 1 线性空间与线性变换 17

18 矩阵分析引论 V=2, 且a,a,.,a.与a1,.,a,分别是与的一个基，则向量组 a1,a,.,a,at,a 1-21 便构成V的一个基由于V,对T不变，所以有 Ta1=a1a1+1a2+.+a1am Ta。=ma1+6ma+.+aa Ta1=ae*1,1a1+.+a,1, Ta。=ae+l,naw+l+.+aaan 因此，线性变换T在基1-21下的矩阵为分块对角矩阵 A1 4= 这里 a1.aw A1= ,A2= a1.amJ .a 易知，若V=,2.V,又T为V的线性变换，且每个V都是T的不变子空 间，则适当选择基，线性变换T在此基下的矩阵便为分块对角形 A= A 1-22 A:J 还可以证明，若V可分解为k个子空间V,(i=1,2,.,k)的直和，则存在V的一个 线性变换T,使得每个口，都是T的不变子空间，从而T在某组基下的矩阵具有分块对角形 1-22的形式 显然，若n维线性空间V可分解为线性变换T的n个一维不变子空间的直和，则T对 应的矩阵可以具有对角形矩阵的形状对角线上的元素就是线性变换T所对应的矩阵A的 特征值，亦称线性变换T的特征值 本节的讨论说明线性空间分解为直和、线性变换以及分块对角形矩阵的关系，再一次说 明线性空间、线性变换及矩阵三者是息息相关的 习题一 1在n维线性空间P中，下列n维向量的集合V,是否构成P上的线性空间 (1)V=(a.b.a.b.a.b)l a.bEp); (2)v=(a.a.".a.)a=1:

果 V = V1 V2 , 且 α1 ,α2 , .,αm 与αm + 1 ,.,αn 分别是 V1 与 V2 的一个基, 则向量组 α1 ,α2 ,.,αm , αm + 1 , .,αn 1 21 便构成 V 的一个基 .由于 V1 , V2 对 T 不变,所以有 Tα1 = a11 α1 + a21 α2 + . + am1 αm . Tαm = a1 mα1 + a2 mα2 + . + ammαm Tαm + 1 = am + 1 , m + 1 αm + 1 + . + an , m + 1 αn . Tαn = am + 1 , nαm + 1 + . + an nαn , 因此,线性变换 T 在基 1 21 下的矩阵为分块对角矩阵 A = A1 A2 . 这里 A1 = a11 . a1 m . . am1 . am m , A2 = am+ 1 , m + 1 . am + 1 , n . . am + 1 , n . ann . 易知,若 V = V1 V2 . Vk ,又 T 为 V 的线性变换,且每个 Vi 都是 T 的不变子空 间,则适当选择基, 线性变换 T 在此基下的矩阵便为分块对角形 A = A1 A2 w Ak . 1 22 还可以证明, 若 V 可分解为 k 个子空间 Vi ( i = 1, 2 , ., k ) 的直和, 则存在 V 的一个 线性变换 T , 使得每个 Vi 都是 T 的不变子空间,从而 T 在某组基下的矩阵具有分块对角形 1 22 的形式 . 显然,若 n 维线性空间 V 可分解为线性变换 T 的 n 个一维不变子空间的直和, 则 T 对 应的矩阵可以具有对角形矩阵的形状 .对角线上的元素就是线性变换 T 所对应的矩阵 A 的 特征值,亦称线性变换 T 的特征值 . 本节的讨论说明线性空间分解为直和、线性变换以及分块对角形矩阵的关系, 再一次说 明线性空间、线性变换及矩阵三者是息息相关的 . 习 题 一 1 .在 n 维线性空间P n 中 ,下列 n 维向量的集合 V , 是否构成P 上的线性空间 : ( 1) V = ( a, b, a, b,. , a, b) a, b∈P ; ( 2) V = ( a1 , a2 ,. , an ) ∑ n i = 1 ai = 1 ; 18 矩阵分析引论

】线性空间与线性变换 19 (3)V=X=(1,.,x)|AX=0,A∈p×"} 2按通常矩库的加法及数与矩阵的乘法，下列的数域P上方阵集合是否构成P上线性空间 0全体形刘。日的二阶方阵的矣合。 (2)全体n阶对称（或反对称，上三角）矩阵的集合： (3)V=XAX=0,X∈Px(A为给定的n阶方阵，A∈Px") 3证明：线性空间定义中，第(3)个条件的第(1)个不是独立的，亦即它可由其余七个“规则”推出· 4证明：对于有限维线性空间，在线性空间定义中的“规则”1ā=是可以证明的，而不必在定义中给 出 5证明：若线性空间V中的每个向量都可由V中n个向量1，a,.,a.线性表出，且有一个向量表 示法唯一，则V必是n维空间，且这组向量是它的一个基。 6在三维线性空间P中，分别求下面的向量a在基：，马，5下的坐标 (1)a=(1,2,1):=(1,1,10,=(1,1,-1),3=(1,·1,-10 (2)a=(3,7,1);8=(1,3,5),52=(6,3,2),8=(3,1,0) 7在R中有两个基 (1)a1=(1,0,0,0),2=(0,1,0,0),a=(0,0,1,0),a4=(0,0,0,1): (2)月=(2,1，-1,1)，月2=(0,3,1,0)，月=(5,3,2,1)，月=(6,6,1,3) 试求①从第(1)个基到第(2)个基的过波矩阵： ②向量a对第(2)个基的坐标(x1,2,x,x4) ③对两个基有相同坐标的非零向量 8在R中，分量满足下列条件的全体向量能否构成R"的子空间： (1)x+为+.+x。=0 (2)x1+6+.+x。=2 9试证：在R中，由(1,1,0,0)，(1,0,1,1)生成的子空间与由(2，1,3,3)，(0,1，-1，1)生成的子空 间相同， 10.设，2都是线性空间V的子空间，且2，证明：如果dim=dim，则=乃2 11求R的子空间 V={(a,6,a)a·m+·am=0}, W={(a,a,h,a)a++G+a=0} 的交VnW的一个基 12,设向量组 41=(10,2,1), 42=(2,0,1,-1),4=(3,0,3,0) 月=(1,1,0,1).B2=(4,1,3,1). 若=L(a1,a,a),=(B,B),求+的维数及一个基。 13.设4,，.，a,及，是n维线性空间V的两个基，证明 (1)在两个基上坐标完全相同的全体向量的集合V,是V的子空间： (2)若空间V的每个向量在这两个基上的坐标完全相同，则@，=马，1=1,2，.，n 14设，分别是齐次线性方程组x,+2+.+x。=0与x1=2=.=X的解空间，试证明 p=53 15,设A是任一m×n矩阵，将A任意分块成

( 3) V = X = ( x1 , x2 ,. , xn ) T AX = 0 , A∈P n× n . 2 .按通常矩阵的加法及数与矩阵的乘法 ,下列的数域 P 上方阵集合是否构成P 上线性空间 : ( 1) 全体形如 0 a - a b 的二阶方阵的集合; ( 2) 全体 n 阶对称 (或反对称 ,上三角 )矩阵的集合 ; ( 3) V = X AX = 0 , X∈P n× n ( A 为给定的 n 阶方阵 , A∈P n× n ) . 3 .证明 : 线性空间定义中 ,第 (3 )个条件的第 (ⅰ ) 个不是独立的 , 亦即它可由其余七个“规则”推出 . 4 .证明 :对于有限维线性空间 ,在线性空间定义中的“规则”1α= α是可以证明的 ,而不必在定义中给 出 . 5 .证明 : 若线性空间 V 中的每个向量都可由 V 中 n 个向量α1 , α2 , ., αn 线性表出 ,且有一个向量表 示法唯一 , 则 V 必是 n 维空间 ,且这组向量是它的一个基。 6 .在三维线性空间 P 3 中 ,分别求下面的向量 α在基ε1 ,ε2 ,ε3 下的坐标; ( 1)α= (1 ,2 ,1) ; ε1 = (1 ,1 ,1) , ε2 = (1 ,1 , - 1) , ε3 = (1 , - 1 , - 1) . ( 2)α= (3 ,7 ,1) ; ε1 = (1 ,3 ,5) , ε2 = (6 ,3 ,2) , ε3 = ( 3,1 ,0 ) . 7 .在R 4 中有两个基 : ( 1)α1 = ( 1,0 ,0 ,0) ,α2 = (0 ,1, 0,0 ) , α3 = ( 0,0 ,1 ,0) ,α4 = (0 ,0 ,0,1 ) ; ( 2)β1 = (2 ,1 , - 1, 1) ,β2 = ( 0,3 ,1 ,0) ,β3 = ( 5, 3,2 ,1 ) ,β4 = (6 ,6, 1,3 ) . 试求①从第 ( 1)个基到第 (2 )个基的过渡矩阵 ; ②向量 α对第 (2) 个基的坐标( x1 , x2 , x3 , x4 ) ; ③对两个基有相同坐标的非零向量 . 8 .在 R n 中 , 分量满足下列条件的全体向量能否构成R n 的子空间 : ( 1) x1 + x2 + . + xn = 0; ( 2) x1 + x2 + . + xn = 2 . 9 .试证 : 在R 4 中 ,由 (1 ,1 ,0, 0) , (1 ,0 ,1,1 )生成的子空间与由 (2 , - 1,3 ,3 ) , ( 0, 1, - 1 , - 1) 生成的子空 间相同 . 10 .设 V1 , V2 都是线性空间 V 的子空间 ,且 V1 V2 , 证明 :如果 dim V1 = dim V2 ,则 V1 = V2 . 11 .求R 4 的子空间 V = ( a1 , a2 , a3 , a4 ) a1 - a2 + a3 - a4 = 0 , W = ( a1 , a2 , a3 , a4 ) a1 + a2 + a3 + a4 = 0 的交 V∩ W 的一个基 . 12 .设向量组 α1 = (1 ,0 ,2,1 ) , α2 = ( 2,0 ,1 , - 1) , α3 = (3 ,0, 3,0 ) , β1 = (1, 1,0 ,1 ) , β2 = (4 ,1, 3,1 ) . 若 V1 = L(α1 ,α2 ,α3 ) , V2 = L(β1 ,β2 ) , 求 V1 + V2 的维数及一个基。 13 .设 α1 ,α2 ,. ,αn 及ε1 ,ε2 ,. ,εn 是 n 维线性空间 V 的两个基 ,证明 : ( 1) 在两个基上坐标完全相同的全体向量的集合 V1 是 V 的子空间 ; ( 2) 若空间 V 的每个向量在这两个基上的坐标完全相同 ,则 αi = εi , i = 1,2 ,. , n . 14 .设 V1 , V2 分别是齐次线性方程组 x1 + x2 + . + xn = 0 与 x1 = x2 = . = xn 的解空间 , 试证明 P n = V1 V2 . 15 .设 A 是任一 m× n 矩阵 , 将 A 任意分块成 1 线性空间与线性变换 19

20 矩阵分析引论 A A . 证明：n元齐次线性方程组AX=0的解空间V是齐次线性方程组A,X=0的解空间V,(i=1,2,“,s)的 V=nn.nV,. 16证明：每个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和 17.证明：T(,)=(,·),万(x,)=(,·)是R的两个线性变换，并求T+五， 18对任一A∈Px”,又给定C∈Px”,定义变换T如下： T(A)=CAAC 证明：(1)T是Pד的线性变换；(2)对任意A,B∈Px“有 T(AB)=T(A)·B+A·T(B) 19设T,S是R3的两个线性变换，它们定义为 T(x,y,)=(x+y+0,0),S(x,y,)=(八，x), 试证T+S的象集是R,即(T+S)(R)=R 20设T是R的线性变换，它定义为 (x,y,)=(0,y) 求T的象集及核 21在R中，求下列各线性变换T在所指定基下的矩阵： (1)7(,x,x)=(2x2,+x,x1)在基1=(1,0,0)，5=(0,1,0)，5=(0,0,1)下的矩 (2)已知线性变换T在基n1=(-1,1,1),6=(1,0,-1),n=(0,1,1)下的矩阵为 101 110 .121J 求T在基1=(1,0,0)，2=(0,1,0)，=(0,0,1)下的矩阵 22给定线性空间R的两个基 1=(1,0,1),2=(2,1,0),3=(1,1,1), n1=(1,2,1),2=(2,2,·1,=(2,·1,·1) 又设T是R3的线性变换，且T%,=n,(i=1,2,3)试求： ()从数}到}（三元集）的过渡矩阵： (2)T在}下的矩阵： (3)T在基n,}下的矩阵 23若矩阵A可逆，证明AB与BA相似 24若A一B,C~D,试证 [小- 25.(1)证明T(,.,x)=(0,.,x1)是线性空间P”的线性变换，且T=0(零变换) (2)求T的核T(0)的维数及象集T(门的维数

A = A1 A2 . An , 证明 : n 元齐次线性方程组 AX = 0的解空间 V 是齐次线性方程组 Ai X = 0的解空间 Vi ( i = 1, 2, . , s) 的 交 V = V1 ∩ V2 ∩.∩ Vs . 16 .证明 :每个 n 维线性空间都可以表示成 n 个一维子空间的直和 . 17 .证明 : T1 ( x1 , x2 ) = ( x2 , - x1 ) , T2 ( x1 , x2 ) = ( x1 , - x2 ) 是R 2 的两个线性变换 , 并求 T1 + T2 , T1 T2 及 T2 T1 . 18 .对任一 A∈P n× n ,又给定 C∈P n× n , 定义变换 T 如下 : T ( A) = CA - AC, 证明 : (1 ) T 是P n× n 的线性变换 ; (2 )对任意 A , B∈P n× n 有 T( AB) = T( A )· B + A· T( B) . 19 .设 T , S 是R 3 的两个线性变换 ,它们定义为 : T( x , y , z) = ( x + y + z,0, 0) , S( x , y , z) = ( y, z, x ) . 试证 T + S 的象集是R 3 , 即( T + S) (R 3 ) = R 3 . 20 .设 T 是R 3 的线性变换 ,它定义为 T( x , y , z) = ( 0, z, y ) , 求 T 2 的象集及核。 21 .在R 3 中 ,求下列各线性变换 T 在所指定基下的矩阵 : ( 1) T( x1 , x2 , x3 ) = ( 2 x1 - x2 , x2 + x3 , x1 ) 在基 ε1 = ( 1 , 0, 0 ) , ε2 = ( 0 ,1 , 0 ) , ε3 = ( 0, 0 , 1 ) 下的矩 阵 ; ( 2) 已知线性变换 T 在基η1 = ( - 1 ,1 ,1) , η2 = ( 1, 0, - 1 ) , η3 = (0 ,1, 1) 下的矩阵为 1 0 1 1 1 0 - 1 2 1 , 求 T 在基ε1 = (1 ,0, 0) , ε2 = ( 0,1 ,0 ) , ε3 = (0 ,0 ,1) 下的矩阵 . 22 .给定线性空间R 3 的两个基 : ε1 = ( 1,0 ,1 ) , ε2 = (2 ,1, 0) , ε3 = ( 1,1 ,1 ) , η1 = ( 1,2 , - 1 ) , η2 = (2 ,2, - 1) , η3 = (2 , - 1 , - 1) . 又设 T 是R 3 的线性变换 ,且 Tεi = ηi ( i = 1 ,2 ,3) .试求 : ( 1) 从基 εi 到基 ηi (三元集 ) 的过渡矩阵 ; ( 2) T 在基 εi 下的矩阵 ; ( 3) T 在基 ηi 下的矩阵 . 23 .若矩阵 A 可逆 ,证明 AB 与 BA 相似 . 24 .若 A～ B , C～ D, 试证 A C ～ B D . 25 .(1) 证明 T ( x1 , x2 ,. , xn ) = (0 , x1 ,. , xn - 1 ) 是线性空间P n 的线性变换 , 且 T n = 0 (零变换) . (2 )求 T 的核 T - 1 ( 0) 的维数及象集 T( V) 的维数 . 20 矩阵分析引论