6 矩阵分析引论 为零 例1-5在n维线性空间P”中，子集 W={X|AX=0,X∈p} 构成P”的一个n·r维子空间，r是A∈Px“的秩. 例1-6设a,a:,a。是数域P上线性空间V的m个向量，则这组向量的所有形 ka1+ka2+·+kam(k∈P) 的线性组合构成的集合非空，且对V中的加法及数量乘法皆封闭，故形成V的一个子空 间，称为由这组向量生成的子空间，并记为L(a1,a,.,am) 例1-6提供了构作已知线性空间的子空间的一种方法，下面两个定理也给出了获得新 的子空间的方法. 定理1-3设，是数域P上线性空间V的两个子空间，则它们的交W=∩ 也是V的子空间 证明由于每个子空间都包含零向量，所以零向量必定属于这两个子空间的交，即甲 不会是空集， 现任取a,BeW,则a,BeY,而y是子空间，所以a+BeV(i=1,2),从而 a+B∈W. 又对任一k∈P及任一a∈W,又有 ka∈，(i=1,2) 从而ka∈W证毕. 定理1-4设，是数域P上线性空间V的两个子空间，则它们的和 K+={a+B|a∈，B∈} 也是V的子空间 证明首先，+不是空集，因为零向量属于及，且0=0+0∈+其 次，如果a,B是+乃中任两向量，且设 a=d +B,B=d B. 这里a1,a∈，B,B∈由于，5是子空间，故 a,+a:∈，B+B∈， 从而 a+B=(a1+a)+(B,+B)∈，+ 同样地，对任一k∈P,则有 ka=ka,+B,∈V1+, 即+是V的子空间证毕. 由于子空间的交与和都满足交换律及结合律，所以还可以定义有限个子空间的交与和 并把上述两个定理推广到有限多个子空间的情形，兹不赘述 例1-7L(a1,a,.,a,)+L(B,B,.,B)=L(a,a2,.,a,B,B,.,B) 下面讨论子空间的交与和的维数， 定理1-5（维数公式）设V是数域P上的n维线性空间，八，是它的两个子空间
为零 . 例 1 5 在 n 维线性空间P n 中, 子集 W = X AX = 0, X ∈ P n 构成P n 的一个 n - r 维子空间, r 是 A∈P m× n 的秩 . 例 1 6 设 α1 ,α2 , .,αm 是数域P 上线性空间 V 的 m 个向量, 则这组向量的所有形 如 k1 α1 + k2 α2 + . + kmαm ( ki ∈ P) 的线性组合构成的集合非空, 且对 V 中的加法及数量乘法皆封闭, 故形成 V 的一个子空 间,称为由这组向量生成的子空间, 并记为 L(α1 ,α2 ,.,αm ) . 例 1 6 提供了构作已知线性空间的子空间的一种方法 .下面两个定理也给出了获得新 的子空间的方法 . 定理 1 3 设 V1 , V2 是数域 P 上线性空间 V 的两个子空间,则它们的交 W = V1 ∩ V2 也是 V 的子空间 . 证明 由于每个子空间都包含零向量, 所以零向量必定属于这两个子空间的交, 即 W 不会是空集 . 现任取 α,β∈ W , 则 α,β∈ Vi ,而 Vi 是子空间,所以 α+ β∈ Vi ( i = 1, 2 ) ,从而 α+ β∈ W . 又对任一 k∈P 及任一 α∈ W , 又有 kα∈ Vi ( i = 1, 2) 从而 kα∈ W .证毕 . 定理 1 4 设 V1 , V2 是数域 P 上线性空间 V 的两个子空间, 则它们的和 V1 + V2 = α + β α∈ V1 , β∈ V2 也是 V 的子空间 . 证明 首先, V1 + V2 不是空集,因为零向量属于 V1 及 V2 ,且 0 = 0 + 0∈ V1 + V2 .其 次,如果 α,β是 V1 + V2 中任两向量,且设 α = α1 + β1 , β = α2 + β2 . 这里 α1 ,α2 ∈ V1 ,β1 ,β2 ∈ V2 .由于 V1 , V2 是子空间, 故 α1 + α2 ∈ V1 , β1 + β2 ∈ V2 , 从而 α+ β = (α1 + α2 ) + (β1 + β2 ) ∈ V1 + V2 . 同样地,对任一 k∈P, 则有 kα = kα1 + kβ1 ∈ V1 + V2 , 即 V1 + V2 是 V 的子空间 .证毕 . 由于子空间的交与和都满足交换律及结合律,所以还可以定义有限个子空间的交与和, 并把上述两个定理推广到有限多个子空间的情形,兹不赘述 . 例 1 7 L(α1 ,α2 , .,αs ) + L(β1 ,β2 , .,βt ) = L(α1 ,α2 ,., αs ,β1 ,β2 , .,βt ) . 下面讨论子空间的交与和的维数 . 定理 1 5( 维数公式) 设 V 是数域 P上的 n 维线性空间, V1 , V2 是它的两个子空间, 6 矩阵分析引论
】线性空间与线性变换 则有维数公式 dim V dim V:dim(V+V2)dim(Vn V:). 或写作 dim(V+V:)=dim V dim V:dim(Vn V2) 证明假设dimK-r,dim:=3,dim(+2)=k,dim(y.n2)=t 在n:中选取一个基a1,a:,.,a,并扩充它，使r个线性无关向量 a1,a,.,a,a+1,.,a, 成为的一个基；同样地，使5个线性无关向量 a1,a2,.,a,B1,.,B 成为的一个基 如能证明 a1,a2,.,a,a1,.,a,B1,.,月 1-11 为+的一个基，那就有 dim(V2)=r+s-t, 从而定理得证 要证明式1-11为+的一个基，只要说明两点：一是V,+V中任一向量可由 式1-11线性表出；二是向量组1-11线性无关第一点比较容易，请读者自己证明，下面证 明向量组1-11线性无关 事实上，如果有 ka1+ka2+.+ka,+k41a41+.+ka,+141B1+.+lB=0, 则可得 @+ka+.+ka,+k-1a+1+.+ka,=-1B1-.-B1-12 此等式左边确定了一个属于片的向量a,而由右边又可见a亦属于片，从而a∈Kn片， 故a可由∩的基a1,a:,.,a,线性表出，即 a=4a1+ka2+.+l,a, 1-13 由式1-12和式1-13得 a1+a:+.+4a,+4,B+.+B=0 由a,4,.,a,B1,.,B是5的基得 h=h=.=1=l1=.=l=0, 代入式1-13即得α=0再应用式1-12，且因基向量线性无关，于是又得 k=k=.=k=k1=.=k=0 这就证明了向量组1-1线性无关，于是定理得证 推论若n维线性空间V的两个子空间的维数之和大于n,则n乃必含非零向 量 证明由所设条件，有dim,+dim>n,又dim(,+,)≤n显然成立，故由维数 公式即得 dim(Vin V2)=dim V dim V:-dim(+V2)>0
则有维数公式 dim V1 + dim V2 = dim( V1 + V2 ) + dim( V1 ∩ V2 ) . 或写作 dim( V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 - dim( V1 ∩ V2 ) . 证明 假设 dim V1 = r, dim V2 = s, dim( V1 + V2 ) = k, dim( V1 ∩ V2 ) = t . 在 V1 ∩ V2 中选取一个基 α1 ,α2 , .,αt ,并扩充它, 使 r 个线性无关向量 α1 ,α2 , .,αt ,αt + 1 , .,αr 成为 V1 的一个基; 同样地,使 s 个线性无关向量 α1 ,α2 , .,αt ,βt + 1 ,.,βs 成为 V2 的一个基 . 如能证明 α1 ,α2 ,.,αt ,αt + 1 ,.,αr ,βt + 1 ,.,βs 1 11 为 V1 + V2 的一个基,那就有 dim( V1 + V2 ) = r + s - t , 从而定理得证 . 要证明式 1 11 为 V1 + V2 的一个基, 只要说明两点: 一是 V1 + V2 中任一向量可由 式 1 11 线性表出; 二是向量组 1 11 线性无关 .第一点比较容易,请读者自己证明, 下面证 明向量组 1 11 线性无关 . 事实上,如果有 k1 α1 + k2 α2 + . + ktαt + kt + 1 αt + 1 + . + krαr + lt + 1 βt + 1 + . + lsβs = 0, 则可得 k1 α1 + k2 α2 + . + ktαt + kt + 1αt + 1 + . + krαr = - lt + 1βt + 1 - . - lsβs 1 12 此等式左边确定了一个属于 V1 的向量 α,而由右边又可见 α亦属于 V2 ,从而 α∈ V1 ∩ V2 , 故 α可由 V1 ∩ V2 的基 α1 ,α2 , .,αt 线性表出,即 α = l1 α1 + l2 α2 + . + ltαt . 1 13 由式 1 12 和式 1 13 得 l1 α1 + l2 α2 + . + ltαt + lt + 1 βt + 1 + . + lsβs = 0 , 由 α1 ,α2 , .,αt ,βt + 1 ,.,βs 是 V2 的基得 l1 = l2 = . = lt = lt + 1 = . = ls = 0, 代入式 1 13 即得 α= 0 .再应用式 1 12 ,且因基向量线性无关, 于是又得 k1 = k2 = . = kt = kt + 1 = . = kr = 0 . 这就证明了向量组 1 11 线性无关, 于是定理得证 . 推论 若 n 维线性空间 V 的两个子空间的维数之和大于 n, 则 V1 ∩ V2 必含非零向 量 . 证明 由所设条件,有 dim V1 + dim V2 > n ,又 dim ( V1 + V2 ) ≤ n 显然成立,故由维数 公式即得 dim( V1 ∩ V2 ) = dim V1 + dim V2 - dim ( V1 + V2 ) > 0 , 1 线性空间与线性变换 7
8 矩阵分析引论 所以∩含有非零向量证毕 若n={0},则维数公式便成为 dim(V+V2)=dim V dim V, 即和的维数等于维数的和 定理1~4给出了两个子空间的和+的定义在子空间的和中，有一个情形特别 重要，这就是下面定义的子空间的直和 定义1-5设，：是线性空间V的两个子空间，如果这两个子空间的和W= +具有性质：对每个ā∈W,分解式 a=a,+a:(其中a1∈V.a2∈V2) 是唯一的，则称子空间八与：的和W=V+:为直和，并记为用=飞 例1-8设有四维线性空间R的三个子空间： ={(a,b,0,0)a,beR} ={(0,0,c,0)lc∈R}, ={(0,d,e,o)ld,e∈R}, 则T=上+不是直和，因为T中有向量(1,1,1,0)，分解式不唯一 (1,1,1,0)=(1,2,0,0)+(0,-1,1,0) (1,1,1,0)=(1,0,0,0)+(0,1,1,0) 但S=+则是直和，因为当a∈S,则有 a=(a,b,0,0)+(0,0,c,0)=(a,b,c,0) 若还有另一表示 a=(a,b,0,0)=(0,0,a,0)=(a,6,9,0) 显然，a=a,b=b,G=c故S中每个向量的分解式唯一，从而S是直和 关于子空间的直和，有下述主要定理： 定理1-6关于子空间的直和，下列命题是等价的 (1)V1+V:中任一向量ū的分解式是唯一的： (2)V,+V2中的0向量的分解式是唯一的 (3)n={0}. 证明(1)(2)，取a=0,显然 (2)(3),若n':含有非零向量a,则有 a+(-a)=0=0+0 推知零向量0有两种不同的分解式，所以V∩，={0}. (3)(1),我们来证其中任一向量ā的分解式是唯一的 对+V中任一向量a,设有分解式 a=a,+a,(a,∈，a,∈) a=B+B(B∈y,B:∈)J 则由上两式相减即得 a1-B+(a2-B)=0
所以 V1 ∩ V2 含有非零向量 .证毕 . 若 V1 ∩ V2 = 0 , 则维数公式便成为 dim( V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 , 即和的维数等于维数的和 . 定理 1 4 给出了两个子空间的和 V1 + V2 的定义 .在子空间的和中, 有一个情形特别 重要,这就是下面定义的子空间的直和 . 定义 1 5 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间, 如果这两个子空间的和 W = V1 + V2 具有性质: 对每个 α∈ W , 分解式 α = α1 + α2 (其中 α1 ∈ V1 , α2 ∈ V2 ) 是唯一的,则称子空间 V1 与 V2 的和 W = V1 + V2 为直和,并记为 W = V1 V2 . 例 1 8 设有四维线性空间R 4 的三个子空间: V1 = ( a, b, 0, 0 ) a, b ∈ R , V2 = (0 , 0, c, 0) c ∈ R , V3 = (0 , d , e, 0) d, e ∈ R , 则 T = V1 + V3 不是直和,因为 T 中有向量( 1, 1, 1, 0) , 分解式不唯一: ( 1, 1, 1, 0) = (1 , 2 ,0 , 0 ) + ( 0, - 1, 1, 0) , (1 , 1 , 1 , 0 ) = ( 1, 0, 0, 0) + (0 , 1 , 1 , 0 ) . 但 S = V1 + V2 则是直和, 因为当 α∈ S ,则有 α = ( a, b, 0, 0) + (0, 0, c, 0) = ( a, b, c, 0) . 若 α还有另一表示 α = ( a1 , b1 , 0, 0 ) = (0, 0, c1 , 0) = ( a1 , b1 , c1 , 0) , 显然, a1 = a, b1 = b, c1 = c .故 S 中每个向量的分解式唯一, 从而 S 是直和 . 关于子空间的直和,有下述主要定理: 定理 1 6 关于子空间的直和,下列命题是等价的: (1 ) V1 + V2 中任一向量 α的分解式是唯一的; (2 ) V1 + V2 中的 0 向量的分解式是唯一的; (3 ) V1 ∩ V2 = 0 . 证明 (1 ) ( 2) ,取 α= 0 ,显然 . (2 ) ( 3) ,若 V1 ∩ V2 含有非零向量 α, 则有 α+ ( - α) = 0 = 0 + 0 . 推知零向量 0 有两种不同的分解式,所以 V1 ∩ V2 = 0 . (3 ) ( 1) ,我们来证其中任一向量 α的分解式是唯一的 . 对 V1 + V2 中任一向量 α,设有分解式 α = α1 + α2 (α1 ∈ V1 , α2 ∈ V2 ) α = β1 + β2 (β1 ∈ V1 , β2 ∈ V2 ) , 则由上两式相减即得 α1 - β1 + (α2 - β2 ) = 0 , 8 矩阵分析引论
】线性空间与线性变换 a1·B=-(a-B) 但是 a1·B∈，a:·Be,·(a2-B)∈， 所以 (a1·B)=.(a:·B)∈n a1=B,a2=B2 亦即+乃，中任一向量ā的分解式是唯一的， 定理1-7若与是n维线性空间V的两个子空间，又V+是直和，则 dim(V+V2)dimdim V, 这是显然的此等式亦可写成 dim(y,⅓)=dimK+dim, 子空间直和的概念可以推广到有限多个子空间的情形而定理1一7的结果可以推广为 dim(巧.V,)=dim+dim乃+.+dimy. 其证明从略 14线性空间的同构 我们会遇到一些看起来不太相同的线性空间，比如P”及P[门.，前者的一般元素为n 元数组 X=(x1,.,x)(x,eP) 后者的一般元素为多项式 p(t)=a+at+&f+.+af(a∈P) 那么这两个线性空间有无“本质”的区别呢？ 在线性空间的定义里，决定集合V能否构成数域P上的一个线性空间，主要是看它是 否定义了“加法”运算及“数量乘法”运算，以及这两个运算是否满足8条“规则”而这两个运 算的具体定义及集合V的元素是什么，在我们的讨论中是可以不考虑的代数是关于运算 规则的科学，具有相同运算规则的系统，在某种意义上就认为是相同的，可以不加区别的确 切地说，我们有下述定义 定义1-6数域P上的两个线性空间V与V称为是同构的，如果V与V之间有一个 对应o,使得对任何a,B∈V及k∈P均满足 (1)o(a+)=o(a)+(); (2)0(Aa)=ko(a). 0就称为从V到V的同构映射 我们也可以这样说，线性空间V与V称为是同构的，如果两者之间能建立起元素（向 量)间的一一对应，并且这个对应保持V中的加法运算及数量乘法运算，即在这个对应下， V中向量a,B的和a+B对应着中的a',的和a'+B';而且V中的数量乘积ka对应
即 α1 - β1 = - (α2 - β2 ) ; 但是 α1 - β1 ∈ V1 , α2 - β2 ∈ V2 , - (α2 - β2 ) ∈ V2 , 所以 (α1 - β1 ) = - (α2 - β2 ) ∈ V1 ∩ V2 . 即 α1 = β1 , α2 = β2 . 亦即 V1 + V2 中任一向量 α的分解式是唯一的 . 定理 1 7 若 V1 与 V2 是 n 维线性空间 V 的两个子空间,又 V1 + V2 是直和, 则 dim( V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 , 这是显然的 .此等式亦可写成 dim( V1 V2 ) = dim V1 + dim V2 . 子空间直和的概念可以推广到有限多个子空间的情形 .而定理 1 7 的结果可以推广为 dim( V1 V2 . Vs ) = dim V1 + dim V2 + . + dim Vs . 其证明从略 . 1 .4 线性空间的同构 我们会遇到一些看起来不太相同的线性空间, 比如P n 及P[ t] n , 前者的一般元素为 n 元数组 X = ( x 1 , x2 , ., xn ) ( xi ∈ P) . 后者的一般元素为多项式 p ( t) = a0 + a1 t + a2 t 2 + . + an - 1 t n - 1 ( ai ∈ P) . 那么这两个线性空间有无“本质”的区别呢 ? 在线性空间的定义里,决定集合 V 能否构成数域P 上的一个线性空间, 主要是看它是 否定义了“加法”运算及“数量乘法”运算,以及这两个运算是否满足 8 条“规则”.而这两个运 算的具体定义及集合 V 的元素是什么, 在我们的讨论中是可以不考虑的 .代数是关于运算 规则的科学,具有相同运算规则的系统, 在某种意义上就认为是相同的,可以不加区别的 .确 切地说,我们有下述定义 . 定义 1 6 数域P 上的两个线性空间 V 与 V′称为是同构的, 如果 V 与 V′之间有一个 一一对应 σ,使得对任何 α,β∈ V 及 k∈P 均满足 (1 )σ(α+ β) = σ(α) + σ(β) ; (2 )σ(λα) = kσ(α) , σ就称为从 V 到 V′的同构映射 . 我们也可以这样说,线性空间 V 与 V′称为是同构的, 如果两者之间能建立起元素 ( 向 量)间的一一对应, 并且这个对应保持 V 中的加法运算及数量乘法运算, 即在这个对应下, V 中向量α,β的和α+ β对应着 V′中的α′,β′的和α′+ β′;而且 V 中的数量乘积 kα对应 1 线性空间与线性变换 9
10 矩阵分析引论 于V中的数量乘积ka(在这里我们设中的a,B对应于V中的a',B'),亦即，若a一a, B→B',则a+B→a'+B',ka→ka' 现在来讨论数域P上n维线性空间V与线性空间P"的关系，在V中取定一个基 a,a,.,a。,又a,B为V中任两向量，k为P中任意数，则有 a=k1+ka+.+ka。,B=a1+6a2+.+a., ka =a;(az.()a. 设o为V到P”的一个映射，它使任何a,B∈V按下面方式同P“中的元素对应起来 a→(k,k,.,k),B一(4，h,.,1n) 则容易证明这个对应是V到P”的一一对应，并且有 a+B→(k+h,k+k,.,k+1), ka一(kk,k,.,kk) 因此，0是同构映射.于是，我们得到下述结论： 数域P上每个n维线性空间V,取定一个基后，V与P“之间存在同构映射 由定义1-6看出，同构映射o:V一V具有下列基本性质： (1)o(0)=0,(-a)=-a(a): (2)o∑ka,=∑ka(a)； (3)若a,a,.,a.为V中线性无关向量组，则o(a),(@),.,o(a)在V中线 性无关；反之亦成立即在同构对应下，线性无关向量组对应线性无关向量组 证明设有 k如(a)=0, 则得 a∑ka=0, 但由(1)已知(0)=0，而0是个一 对应，故只能有 ka,=0, 因为但a,a,.,a.线性无关，所以得知 h==.=k=0 这就证明了向量组o(a1),(a:),.,0(am)线性无关反之，若a1,a2,.,a。是V中 任意m个向量，但如果o(a1),o(a2),.,o(am)是中一线性无关向量组，则可以证明原 来的m个向量a,a,.,a。在V中也一定是线性无关的事实上，设有 ha.=0. 1-14 则由(0)=0，及(2)便可推知 ∑ka=0 但由假设，a(a1),(a),.,(a。)线性无关，故由此式即得k=k=.=k=0,联系到 式1-14便知a1,a2,.,a。线性无关. (4)同构的有限维线性空间，其维数相同
于 V′中的数量乘积 kα′(在这里我们设 V 中的α,β对应于 V′中的α′,β′) ,亦即, 若 α→α′, β→β′,则 α+ β→α′+ β′, kα→ kα′. 现在来讨论数域 P 上 n 维线性空间 V 与线性空间 P n 的关系 .在 V 中取定 一个基 α1 ,α2 ,.,αn ,又 α,β为 V 中任两向量, k 为P 中任意数, 则有 α = k1 α1 + k2 α2 + . + knαn , β = l1 α1 + l2 α2 + . + lnαn , kα = ( kk1 )α1 + ( kk2 )α2 + . + ( kkn )αn . 设 σ为 V 到P n 的一个映射, 它使任何 α,β∈ V 按下面方式同 P n中的元素对应起来: α→ ( k1 , k2 ,., kn ) , β→ ( l1 , l2 , ., ln ) , 则容易证明这个对应是 V 到P n 的一一对应, 并且有 α + β→ ( k1 + l1 , k2 + l2 ,., kn + ln ) , kα→ ( kk1 , kk2 , ., kkn ) . 因此,σ是同构映射 .于是,我们得到下述结论: 数域 P 上每个 n 维线性空间 V, 取定一个基后, V 与P n 之间存在同构映射 . 由定义 1 6 看出,同构映射 σ: V→ V′具有下列基本性质: (1 )σ(0 ) = 0, σ( - α) = - σ(α) ; (2 ) σ ∑ m i = 1 kiαi = ∑ m i = 1 kiσ(αi ) ; (3 )若 α1 ,α2 , .,αm 为 V 中线性无关向量组, 则 σ(α1 ) ,σ(α2 ) , .,σ( αm ) 在 V′中线 性无关;反之亦成立 .即在同构对应下,线性无关向量组对应线性无关向量组 . 证明 设有 ∑ m i = 1 kiσ(αi ) = 0 , 则得 σ ∑ m i = 1 kiαi = 0, 但由(1 )已知 σ( 0) = 0, 而 σ是个一一对应, 故只能有 ∑ m i = 1 kiαi = 0, 因为但 α1 ,α2 , .,αm 线性无关, 所以得知 k1 = k2 = . = km = 0 . 这就证明了向量组 σ(α1 ) ,σ(α2 ) , .,σ(αm )线性无关 .反之,若 α1 ,α2 ,., αm 是 V 中 任意 m 个向量, 但如果 σ(α1 ) ,σ(α2 ) , .,σ(αm )是 V′中一线性无关向量组, 则可以证明原 来的 m 个向量α1 , α2 ,., αm 在 V 中也一定是线性无关的 .事实上, 设有 ∑ m i = 1 kiαi = 0, 1 14 则由 σ(0 ) = 0 ,及( 2) 便可推知 σ ∑ m i = 1 kiαi = 0 . 但由假设,σ(α1 ) ,σ(α2 ) ,.,σ(αm )线性无关, 故由此式即得 k1 = k2 = . = km = 0, 联系到 式1 14 便知 α1 ,α2 ,., αm 线性无关 . (4 )同构的有限维线性空间, 其维数相同 . 10 矩阵分析引论