《高等代数研究》课程教学资源（书籍文献）矩阵分析引论（第四版，华南理工大学出版社）.pdf_P6-P10

1 线性空间与线性变换本章扼要概述线性空间与线性变换的基本概念和基本理论，这是学习矩阵分析及其应用的入门知识对于线性代数基础比较好的读者，有些部分粗看一下就可以了 1.1线性空间的概念人们谈论问题，往往都是就一定“范围”来说的，脱离了这个“范围”，就难以讲清楚了，甚至只能在某个“范围”内才能提出或研究某种问题明白了这一点，就较容易理解我们引入数域及线性空间的目的了我们知道，由所有有理数组成的集合具有这样的性质：这集合中任意两数的和、差、积、商（除数不为零）仍是该集合中的数，这个集合用Q表示类似地，由所有实数构成的集合R, 以及由所有复数构成的集合C也都具有这一性质这三个集合的包含关系为 QR C. 因此我们说“一个复数”时，自然包括这个数可能是有理数或实数这两个特殊情况在内在引入线性空间这一重要概念之前，首先要给出数域的概念如果复数的一个非空集合P含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为零)仍属于该集合，则称数集P为一个数域.于是上述集合Q,R,C都是数域，分别称为有理数域、实数数域及复数域又如集合 Q(2)=a+b a,bEQ} 也构成一数域，请读者加以验证但是，由所有整数组成的集合Z是不构成数域的，数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分特别地，每个数域都包含整数0和1现在我们可以给出线性空间的定义了定义1-1设V是一个非空集合，P是一数域如果 (1)在集合V上定义了一个二元运算（通常称为加法），即是说，y中任意两个元素α， B经过这个运算后所得到的结果，仍是集合V中的唯一确定的元素，这元素称为α与B的和，并记作a+B; (2)在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于P中任意数k与V中任意元素ā，经这一运算后所得的结果仍为V中一个唯一确定的元素，称为 k与a的数量乘积，记作ka; (3)上述两个运算满足下列八条规则： (i)对任意 a,BE V,a+B=B+a (ⅱ)对任意 a,B,Y∈V,(a+B)+Y=a+(B+Y)月 (进)V中存在一个零元素，记作0，对任意a∈V,都有ā+0=a; (iv)任一a∈V,都有BeV,使得a+B=0,元素B称为a的负元素，记作·a

1 线性空间与线性变换本章扼要概述线性空间与线性变换的基本概念和基本理论, 这是学习矩阵分析及其应用的入门知识 .对于线性代数基础比较好的读者, 有些部分粗看一下就可以了 . 1 .1 线性空间的概念人们谈论问题,往往都是就一定“范围”来说的, 脱离了这个“范围”,就难以讲清楚了, 甚至只能在某个“范围”内才能提出或研究某种问题 .明白了这一点, 就较容易理解我们引入数域及线性空间的目的了 . 我们知道,由所有有理数组成的集合具有这样的性质: 这集合中任意两数的和、差、积、商(除数不为零) 仍是该集合中的数,这个集合用Q 表示 .类似地, 由所有实数构成的集合R, 以及由所有复数构成的集合C 也都具有这一性质 .这三个集合的包含关系为 Q R C . 因此我们说“一个复数”时,自然包括这个数可能是有理数或实数这两个特殊情况在内 . 在引入线性空间这一重要概念之前,首先要给出数域的概念 . 如果复数的一个非空集合P 含有非零的数, 且其中任意两数的和、差、积、商 (除数不为零)仍属于该集合, 则称数集P 为一个数域 .于是上述集合Q , R, C 都是数域, 分别称为有理数域、实数数域及复数域 .又如集合 Q( 2 ) = a + b 2 a, b ∈ Q 也构成一数域,请读者加以验证 .但是,由所有整数组成的集合Z 是不构成数域的 . 数域有一个简单性质, 即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分 .特别地, 每个数域都包含整数 0 和 1 .现在我们可以给出线性空间的定义了 . 定义 1 1 设 V 是一个非空集合, P 是一数域 .如果 (1 ) 在集合 V 上定义了一个二元运算 (通常称为加法 ) , 即是说, V 中任意两个元素α, β经过这个运算后所得到的结果, 仍是集合 V 中的唯一确定的元素, 这元素称为 α与β的和,并记作 α+ β; (2 ) 在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算, 叫做数量乘法, 即对于 P 中任意数 k 与 V 中任意元素α,经这一运算后所得的结果仍为 V 中一个唯一确定的元素, 称为 k 与α的数量乘积,记作 kα; (3 ) 上述两个运算满足下列八条规则: (ⅰ) 对任意 α,β∈ V , α+ β= β+ α; (ⅱ) 对任意 α,β,γ∈ V , (α+ β) + γ= α+ (β+ γ) ; (ⅲ) V 中存在一个零元素, 记作 0, 对任意 α∈ V, 都有 α+ 0 = α; (ⅳ) 任一 α∈ V, 都有 β∈ V , 使得 α+ β= 0 ,元素 β称为α的负元素, 记作 - α;

矩阵分析引论 (v)对任一a∈V,都有1a=a; (i)对任一a∈V,k,IeP,k(a)=(kM)a; (i)对任一a∈V,k,1eP,(k+1)a=ka+1a (ⅷ)对任一k∈P,a,B∈V,k(a+B)=ka+kB, 则集合V称为数域P上的线性空间或向量空间.V中的元素常称为向量.V中的零元素称为零向量当P是实数域时，V叫实线性空间：当P是复数域时，V叫复线性空间数域P上的线性空间有时简称为线性空间由定义可以证明线性空间V中的零向量是唯一的；V中每个元素ā的负元素也是唯一的；并且有 0a=0,k0=0,(-1)a=-a, 这里k∈P,a∈V又V中元素的减法可以定义为（对任何a,B∈V) aB=a+(-) 下面是一些常见的线性空间的例子例1-1若P是数域，V是分量属于Pn元有序数组的集合 V={(x,x,.,x)”x∈P, 若对V中任两元素 X=(x,x,.,x),Y=(y,为，.，%) 及每个k∈P(记作"k∈P),定义加法及数量乘法为 X+Y=(x+乃，x+为，.，x+B),kX=(kx,kx,.,kx) 则容易验证，集合V构成数域P上的线性空间这个线性空间记为P” 例1~2所有元素属于数域P的m×n矩阵组成的集合，按通常定义的矩阵加法及数与矩阵的数量乘法，也构成数域P上的一个线性空间，并把它记为Px“ 例13若n为正整数，P是数域，则系数属于P而未定元为1的所有次数小于n的多项式的集合这个集合连同零多项式在内，按通常多项式的加法及数与多项式的乘法构成数域P上的线性空间我们用P[小。代表这个空间若把“次数小于n的”这一限制取消，则也得到一个线性空间，并记为P[小· 例1-4所有定义在区间[a,b](a≤b)上的实值连续函数构成的集合，按照函数的加法及数与函数的乘法，显然构成实数域上一个线性空间，记为R[,b] 在讨论线性空间的问题时，下面几个概念是必须熟知的定义1-2设V是数域P上的线性空间，a,a:,.,a。是V的一组向量，如果P中有组不全为零的数k,k,.,k,使得 ka1+ka2+.+ka。=0, 1-1 则称向量a,a,.,a,线性相关；若等式1-1当且仅当k=k=.=k=0时才成立，则称这组向量是线性无关的由定义得知，如果向量a,a,.,a,线性相关，则使得式11成立的数k,k,.,k 中至少有一个不等于零，比如≠0，则有 a,=-a.ka

(ⅴ) 对任一 α∈ V, 都有 1α= α; (ⅵ) 对任一 α∈ V, k, l∈P, k ( lα) = ( kl)α; (ⅶ) 对任一 α∈ V, k, l∈P, ( k + l)α= kα+ lα; (ⅷ) 对任一 k∈P ,α,β∈ V, k (α+ β) = kα+ kβ, 则集合 V 称为数域 P 上的线性空间或向量空间 .V 中的元素常称为向量 .V 中的零元素称为零向量 .当P 是实数域时, V 叫实线性空间; 当P 是复数域时, V 叫复线性空间 .数域P 上的线性空间有时简称为线性空间 . 由定义可以证明: 线性空间 V 中的零向量是唯一的; V 中每个元素α的负元素也是唯一的; 并且有 0α = 0, k 0 = 0, ( - 1)α = - α, 这里 k∈P ,α∈ V .又 V 中元素的减法可以定义为( 对任何 α,β∈ V ) α - β = α + ( - β) . 下面是一些常见的线性空间的例子 . 例 1 1 若 P 是数域, V 是分量属于 P n 元有序数组的集合 V = ( x1 , x2 ,., x n ) " xi ∈ P , 若对 V 中任两元素 X = ( x1 , x2 ,., x n ) , Y = ( y1 , y2 ,., yn ) 及每个 k∈P(记作 " k∈P) , 定义加法及数量乘法为 X + Y = ( x1 + y1 , x2 + y2 , ., xn + yn ) , kX = ( kx1 , kx2 ,., k xn ) , 则容易验证,集合 V 构成数域 P 上的线性空间 .这个线性空间记为P n . 例 1 2 所有元素属于数域 P 的 m× n 矩阵组成的集合,按通常定义的矩阵加法及数与矩阵的数量乘法,也构成数域 P 上的一个线性空间,并把它记为P m× n . 例 1 3 若 n 为正整数, P 是数域,则系数属于P 而未定元为 t 的所有次数小于 n 的多项式的集合 .这个集合连同零多项式在内, 按通常多项式的加法及数与多项式的乘法构成数域 P 上的线性空间 .我们用 P[ t] n 代表这个空间 .若把“次数小于 n 的”这一限制取消,则也得到一个线性空间,并记为 P[ t] . 例 1 4 所有定义在区间[ a, b] ( a≤ b)上的实值连续函数构成的集合,按照函数的加法及数与函数的乘法,显然构成实数域上一个线性空间, 记为 R[ a, b] . 在讨论线性空间的问题时,下面几个概念是必须熟知的 . 定义 1 2 设 V 是数域 P 上的线性空间, α1 ,α2 ,.,αn 是 V 的一组向量,如果 P 中有一组不全为零的数 k1 , k2 ,., kn , 使得 k1 α1 + k2 α2 + . + knαn = 0 , 1 1 则称向量 α1 ,α2 , .,αn 线性相关;若等式 1 1 当且仅当 k1 = k2 = . = kn = 0 时才成立, 则称这组向量是线性无关的 . 由定义得知,如果向量 α1 ,α2 ,., αn 线性相关, 则使得式 1 1 成立的数 k1 , k2 , ., kn 中至少有一个不等于零,比如 k1 ≠0,则有 α1 = - k2 k1 α2 - . - kn k1 αn , 2 矩阵分析引论

】线性空间与线性变换 3 这时，我们说向量a1是向量a2,a,.,a。的线性组合或者说，向量a,可由a2,a,., Q,线性表示（表出）一般地说，一组向量（含有限个向量）线性相关时，则其中至少有一个向量可由这组中其它向量线性表出；反过来，如果这组向量具有这一性质，则这组向量必定线性相关但不难推知，线性无关的一组向量，其任一向量都不可能由这组中其余向量线性表出定义1~3设V是数域P上的线性空间，如果V中存在一组向量，满足 (1)向量组线性无关： (2)P中任一向量可由向量组线性表示，则称该组向量构成V的一个基若V的一个基中向量个数为n,称n为V的维数，记为dimV=n,若基中向量个数不是有限数时，称V是无限维向量空间本书主要讨论有限维线性空间在n维线性空间中，其任意的n个线性无关向量都构成它的一个基.由线性空间维数定义可知，在有限维线性空间中，基是存在的，但不是唯一的因为，当维数是n时，空间里的任何n个线性无关的向量都可以作它的一个基定理1-1设V是数域P上的n维线性空间，a,a,.,a。是V的一个基，则V中任一向量ā都可以表示为这个基的线性组合，且表示式是唯一的证明由定义1-3知 a=ka1+ka+.+kan 1-2 如果a还有另一表示 Q=ha1+2Q2+.+/nam, 1-3 则由式1-2、式1-3即得 (k·h)a+(e·2)a:+.+(k·n)am=0, 因基向量a1,.,a。线性无关，所以 k·h=k·k=.=k·4=0, 从而有k=(i=1,2,.,n)这证明了表示式的唯一性证毕，表示式1-2中的数，k,.,k称为向量a在基a1,a:,.,a,下的坐标此定理说明，取定一个基后，每个向量Q在这个基下的坐标是唯一确定的，a的第i个坐标k(i=1, 2,.,n)也称为Q的第i个分量我们再来看看前述几个例子中线性空间P”,Px“,P[。的维数首先，容易证明 a1=(1,0,.,0),a2=(0,1,.,0),.,am=(0,0,.,1) 是线性空间P”的n个线性无关向量，又显然P”中任一向量 a=(k,飞，.，k) 都可由这n个线性无关向量线性表出，有 a=ka1+ka2+.+kan 从而得知P”是n维线性空间今后用得较多的是R”及C” 再考察线性空间P“x”,若用E,表示第i行、第)列上的元素等于1而其它元素均等于零的mXn矩阵，则下列的mn个矩阵E,E,.,E,.,Em(i=1,2,.,m;j=1,2

这时, 我们说向量 α1 是向量 α2 , α3 , ., αn 的线性组合 .或者说, 向量 α1 可由 α2 , α3 , ., αn 线性表示(表出) . 一般地说,一组向量( 含有限个向量)线性相关时, 则其中至少有一个向量可由这组中其它向量线性表出;反过来, 如果这组向量具有这一性质,则这组向量必定线性相关 .但不难推知,线性无关的一组向量, 其任一向量都不可能由这组中其余向量线性表出 . 定义 1 3 设 V 是数域 P 上的线性空间,如果 V 中存在一组向量,满足 (1 ) 向量组线性无关; (2 ) V 中任一向量可由向量组线性表示, 则称该组向量构成 V 的一个基 . 若 V 的一个基中向量个数为 n, 称 n 为 V 的维数, 记为 dim V = n; 若基中向量个数不是有限数时,称 V 是无限维向量空间 .本书主要讨论有限维线性空间 . 在 n 维线性空间中,其任意的 n 个线性无关向量都构成它的一个基 .由线性空间维数定义可知,在有限维线性空间中,基是存在的, 但不是唯一的 .因为, 当维数是 n 时, 空间里的任何 n 个线性无关的向量都可以作它的一个基 . 定理 1 1 设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间,α1 ,α2 , .,αn 是 V 的一个基, 则 V 中任一向量α都可以表示为这个基的线性组合,且表示式是唯一的 . 证明由定义 1 3 知 α = k1 α1 + k2 α2 + . + knαn , 1 2 如果 α还有另一表示 α = l1 α1 + l2 α2 + . + lnαn , 1 3 则由式 1 2、式 1 3 即得 ( k1 - l1 )α1 + ( k2 - l2 )α2 + . + ( kn - ln )αn = 0 , 因基向量 α1 ,α2 , .,αn 线性无关,所以 k1 - l1 = k2 - l2 = . = kn - ln = 0, 从而有 ki = li ( i = 1, 2, ., n) .这证明了表示式的唯一性 .证毕 . 表示式 1 2 中的数 k1 , k2 , ., kn 称为向量α在基α1 ,α2 , .,αn 下的坐标 .此定理说明,取定一个基后, 每个向量 α在这个基下的坐标是唯一确定的 .α的第 i 个坐标 ki ( i = 1, 2, ., n) 也称为 α的第 i 个分量 . 我们再来看看前述几个例子中线性空间P n , P m× n , P[ t] n 的维数 . 首先,容易证明 α1 = (1 ,0 ,., 0) , α2 = (0 ,1 ,., 0) , ., αn = (0, 0, ., 1) 是线性空间P n 的 n 个线性无关向量, 又显然 P n 中任一向量 α = ( k1 , k2 , ., kn ) 都可由这 n 个线性无关向量线性表出, 有 α = k1 α1 + k2 α2 + . + knαn , 从而得知P n 是 n 维线性空间 .今后用得较多的是R n 及C n . 再考察线性空间P m × n ,若用 Eij 表示第 i 行、第 j 列上的元素等于 1 而其它元素均等于零的 m× n 矩阵, 则下列的 mn 个矩阵 E11 , E1 2 , ., Eij , ., E mn ( i = 1, 2, ., m ; j = 1, 2, 1 线性空间与线性变换 3