（2）证明不等式：当F（x）具有单调性时，常可利用单调性证明F(x)>0。2sinx元1时,例证明约当不等式：当xE0元2xsinx元解则令F(x)xE2xxcosx-sinx(x-tanx)cosx0F'(x):X2sinx2元元E中严格单调递减。特别地所以F(x）在2)x2元
（2）证明不等式： 例 证明约当不等式：当 时， 。 解 令 ， ，则 ， 所以 在 中严格单调递减。特别地， 。 当 具有单调性时，常可利用单调性证明
x3sinx<x例证明：当x>0时，X6x3解令F(x)=sinx-x+,x E[0,+o0)，则6x2F'(x)= cos x -1+,F"(x)=-sinx+x>0 , xE(0,+oo) :2所以F(x）严格单调递增→当x>0 时F(x)>F(O)=0，所以F(x) 严格单调递增= 当x>0 时 F(x)>F(O)=0
解 例 证明：当 时， 。 令 ， ，则 ， 所以 严格单调递增 当 时 ， ， 所以 严格单调递增 当 时 ， 。 ，
（3）判断零点存在性：例求满足sin(x+sinx)=cos(x一cosx）的所有锐角。元解希望从 sin(x + sin x)= cos(x - cos x)= sinx+cosx2元确定x+sinx 与的关系。-x+cosx白2元为此需要确定x+sinx与一x+cosx的取值范围。2
解 （3）判断零点存在性： 例 求满足 的所有锐角。 希望从 确定 与 的关系。 为此需要确定 与 的取值范围
例求满足sin(x+sinx)=cos(x一cosx）的所有锐角。元解时,当xEx+cosx严格单调递减且值域为2x+sinx严格单调递增且值域为元元+cosx+ sinx≤+V2<元,因为x+cosx +(x+sinx)=222元所以x+cosx=x+sinx2
解 例 求满足 的所有锐角。 当 时， 严格单调递减且值域为 ， 严格单调递增且值域为 。 因为 ， 所以
例求满足sin(x+sinx）=cos(x一cosx）的所有锐角。元解所以-x+cosx=x+sinx。2单调性常被用来判别零点的个数元-2x+cosx-sinx，则F(x)=-2-sinx-cosx<0F(x)=2元一x+cosx=x+sinx至多只有一解，所以2元是解。易验证：X=4
解 例 求满足 的所有锐角。 所以 。 易验证： 是解。 单调性常被用来判别零点的个数。 令 ，则 ， 所以 至多只有一解