高等数学
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《微积分（第3版）（主编：吴传生）》授课时间第周周节课时安排2第授课题目教学章、节或主题)：第一章函数第一节集合教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）：1.理解集合、集合相等、区间、区域等相关概念：2.了解集合的交、并、差、补等运算：3.掌握区间和区域的表示教学内容（包括基本内容、重点、难点）：重点：集合的运算，邻域的概念难点：邻域的概念主要内容第一节集合一、集合的概念1.集合的定义集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C，，等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记aeM（读a属于M）；若事物a不是集合M的一个元素，就记aM或aeM（读a不属于M）：集合有时也简称为集注意：（1）对于二个给定的集合，要具有确定性的特征，即对于任何一个事物或元素，能够判断它属于或不属于给定的集合，二者必居其一（2）对于一个给定的集合，其中的元素应是互异的，完全相同的元素，不论数量多少，在一个集合里只算作一个元素，就是说，同一个元素在同一个集合里不能重复出现（3）若一集合只有有限个元素，就称为有限集：否则称为无限集2.集合的表示法表示集合的方法，常见的有列举法和描述法两种列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号)括起来，这种方法称为列举法.例方程x+2x-3=0根的集合A，可表示为A={-3,1)描述法：若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成的，可表示为M=(x/x具有性质P),例由不等式x-3>2的解构成的集合A可表示为A=[xx>5]全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q全体实数的集合记为R，以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。3.集合间的基本关系1
《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 1 授课时间 第 周 周 第 节 课时安排 2 授课题目(教学章、节或主题)： 第一章 函数 第一节 集合 教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）： 1 . 理解集合、集合相等、区间、区域等相关概念； 2. 了解集合的交、并、差、补等运算； 3. 掌握区间和区域的表示. 教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 重点： 集合的运算，邻域的概念 难点： 邻域的概念 主要内容 第一节 集合 一、集合的概念 1. 集合的定义 集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母 A、B、C„ „等 来 表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物 a 是集合 M的一个元素，就记 a M （读 a 属于 M）；若事物 a 不是集合 M的一个元素，就记 a M 或 a M（读 a 不属于 M）； 集合有时也简称为集. 注意：（1）对于一个给定的集合，要具有确定性的特征，即对于任何一个事物或元素，能 够判断它属于或不属于给定的集合，二者必居其一. （2）对于一个给定的集合，其中的元素应是互异的，完全相同的元素，不论数量多 少，在一个集合里只算作一个元素，就是说，同一个元素在同一个集合里不能重复出现. （3）若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集. 2. 集合的表示法 表示集合的方法，常见的有列举法和描述法两种. 列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号{ }括起来，这种方法称为列举 法. 例 方程 x 2 +2x-3=0 根的集合 A，可表示为 A={-3,1}. 描述法：若集合 M 是由具有某种性质 P 的元素 x 的全体所组成的，可表示为 M={ x | x 具有性质 P}, 例 由不等式 x-3>2 的解构成的集合 A 可表示为 A={x|x>5}. 全体自然数集记为 N,全体整数的集合记为 Z,全体有理数的集合记为 Q,全体实数的集合 记为 R，以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。 3. 集合间的基本关系
《微积分（第3版）（主编：吴传生）》子集：集合A的元素都是集合B的元素，即若有xEA，必有xEB，就称A为B的子集，记为AcB,或BA(读B包含A)。显然：NCZCOCR集合相等：若AcB,同时BCA,就称A、B相等,记为A=B。空集不含任何元素的集称为空集,记为Φ，如：(xx2+1=0,xeR)=Φ，x:2*=-1)=Φ,空集是任何集合的子集,即ΦA。二、集合的运算AUB=(x|xeA或xeB)并运算交运算ANB=(x|xEA且xeB)差运算A\B=(x|xEA或x±B)性质：（1）交换律AUB=BUA,ANB=BNA；(2)结合律（AUB)UC=AU(BUC),(ANB)NC=AN(BNC)（3）分配律（AUB)NC=（ANC)U(BNC)，(ANB)UC=(AUC)N(BUC)（4）对偶律（AUB）°=ANB°（ANB）°=AUB直积(笛卡儿乘积)：设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，J)，把这样的有序对作为新元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积，记为AxB，即AxB=((x,y)IxeA,yeB)例如，RxR=【（x，y）|xeR且yeR）即为xOy面上全体点的集合，RxR常记作R三、区间与邻域1. 区间有限区间：设a<b,称数集(xla<x<b)为开区间，记为(a,b)，即(a, b)=(xla<r<b)类似地有[a,b]=(x|a≤x≤b]称为闭区间,[a,b)=(x[aSr<b]、(a,b]=(x|a<x<b)称为半开区间其中a和b称为区间(a,b)、[a,b]、[a,b)、(a,b]的端点,b-a称为区间的长度无限区间[a, +00)= (x [ a≤x ), (-00, b] = (x / x<b ) , (-00, +00)=[x/ /x/<+00]) 2
《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 2 子集：集合 A 的元素都是集合 B 的元素，即若有 Ax ，必有 Bx ，就称 A 为 B 的子 集，记为 BA ,或 AB (读 B 包含 A)。 显然： RQZN . 集合相等：若 BA ,同时 AB ,就称 A、B 相等,记为 A=B。 空集 不含任何元素的集称为空集,记为 ,如： { ,01 Rxxx 2 }= ,{ 12: x x }= ,空集是任何集合的子集,即 A。 二、集合的运算 并运算 |{ 或 BxAxxBA } 交运算 |{ 且 BxAxxBA } 差运算 |{\ 或 BxAxxBA } 性质：（1）交换律 , ABBAABBA ； （2）结合律 ）（ , )( ）（ CBACBACBACBA )( （3）分配律 ）（ CBCACBA , )()( ）（ CBCACBA )()( （4）对偶律 ccc ccc ）（ , ）（ BABABABA 直积(笛卡儿乘积): 设 A、B 是任意两个集合, 在集合 A 中任意取一个元素 x, 在集合 B 中任意取一个元素 y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合 A 与集合 B 的直积, 记为 AB, 即 （ ByAxyxBA },|),{ 例如, RR{(x, y)| xR 且 yR }即为 xOy 面上全体点的集合, RR 常记作 R 2 . 三、区间与邻域 1. 区间 有限区间: 设 a<b, 称数集{x|a<x<b}为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b){x|a<x<b}. 类似地有 [a, b] {x | a xb }称为闭区间, [a, b) {x | ax<b }、(a, b] {x | a<xb }称为半开区间. 其中 a 和 b 称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, ba 称为区间的长度. 无限区间: [a, ) {x | ax }, (, b] {x | x < b } , (, ){x | | x | < }
《微积分（第3版）（主编：吴传生）》AN区间在数轴上的表示2.邻域：以点a为中心的任何开区间称为点a的领域，记作U(α)。设是任一正数，a为某一实数，把数集【x||x-a」<}称为点a的邻域，记作U(a,8），即U(a, )=( xl |x-a [ <8)点a称为这邻域的中心，8称为这邻域的半径（图1-8）由于a-<xa+相当于|x-a<8，因此U（a，）=（xa-S<x<a+),也就是开区间（a-，a+8）因为lx-a|表示点x与点a间的距离，所以U(a，）表示：与点a距离小于的-切点x的全体例如：|x-2<1,即为以点a=2为中心，以1为半径的邻域。有时用到的邻域需要把邻域中心去掉点a的邻域去掉中心a后，称为点a的去心的邻域，记作U(a,)，即U (a, 0)=(xj0</x-a k8)这里0<|x-a|就表示xa例如：0<|x-2<1,即为以点a=2为中心，半径为1的去心邻域(1,2)U(2,3).讨论、思考：1.如果集合A有n个元素，间A有多少个子集？A的真子集有几个？2.写出A={0,1,2)的一切子集。3.按下列要求举例：（1）一个有限集（2）一个无限集（3）一个空集（4）一个集合是另一个集合的子集作业：（课本）习题1-1(2,3,9,12,13)参考资料（含参考书、文献等）：《微积分》（第三版），吴传生编，高等教育出版社教学过程设计：复习0分钟，授新课90分钟，安排讨论4分钟，布置作业1分钟授课类型：V理论课讨论课实验课练习课其他其他教学方式：V讲授讨论指导V多媒体模型实物挂图音像其他教学资源：3
《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 3 区间在数轴上的表示: 2.邻域：以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的领域，记作 aU )( 。 设 是任一正数，a 为某一实数，把数集{ x| |x-a | < }称为点 a的 邻域，记作 U （a, ），即 U(a, )={ x| |x-a | < } 点 a 称为这邻域的中心， 称为这邻域的半径.（图 1-8） 由于 a- <x<a+ 相当于| x-a |< ，因此 U(a, ）={ x| a- <x<a+ },也就是开区间( a- ,a+ ) 因为| x-a |表示点 x 与点 a 间的距离，所以 U(a, ）表示：与点 a 距离小于 的一 切点 x 的全体. 例如: | x-2 |<1,即为以点 a=2 为中心，以 1 为半径的邻域。有时用到的邻域需要把邻 域中心去掉.点 a 的 邻域去掉中心 a 后，称为点 a 的去心的 邻域，记作 aU ),( ，即 U (a, ){x |0<| xa |<} 这里 0<|x-a|就表示 x a. 例如: 0<| x-2 |<1,即为以点 a=2 为中心,半径为 1 的去心邻域(1,2) (2,3). 讨论、思考： 1. 如果集合 A 有 n 个元素，问 A 有多少个子集？ A 的真子集有几个？ 2. 写出 A }2,1,0{ 的一切子集。 3. 按下列要求举例： （1）一个有限集 （2）一个无限集 （3）一个空集 （4）一个集合是另一个集合的子集 作业：（课本） 习题 1－1 (2,3,9,12,13) 参考资料（含参考书、文献等）： 《微积分》(第三版)，吴传生编，高等教育出版社 教学过程设计：复习 0 分钟，授新课 90 分钟，安排讨论 4 分钟，布置作业 1 分钟 授课类型： √理论课 讨论课 实验课 练习课 其他 教学方式： √讲授 讨论 指导 其他 教学资源： √多媒体 模型 实物 挂图 音像 其他
《微积分（第3版）（主编：吴传生）》2授课时间第周周第节课时安排授课题目（教学章、节或主题)：第一章函数第二节映射与函数教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）：1.理解映射与函数概念，掌握有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数的特点；2.培养学生应用函数解决实际问题的能力；3.训练学生“通过建立简单应用问题中的函数关系式”解决实际问题的的数学思教学内容（包括基本内容、重点、难点）：重点：映射与函数的概念。难点：复合映射。主要内容第二节映射与函数一、函数的概念1.映射的概念定义设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一的元素与之对应，则称↑为X到Y的映射，记作f：X→Y,其中y元素x（在映射f下）的像。并记作f(x)，即y=f(x）而元素x称为元素（在映射↑下）的一个像；集合X称为映射↑的定义域，记作D，,即D，=XR.X中所有元素的像所组成的集合称为映射↑的值域，记作R,或f(X)，即：f(X)=(f(x)/xe X).需要注意的问题：（1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X，即定义域D，=X，集合Y，即值域的范围：R,=Y；对应法则t，使对每个xeX，有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个xEX，元素x的像V是唯一的；而对每个yER，，元素V的原像不一定是唯一的；映射↑的值域R,是Y的一个子集，即R,CY，不一定R，=Y4
《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 4 授课时间 第 周 周 第 节 课时安排 2 授课题目(教学章、节或主题)： 第一章 函数 第二节 映射与函数 教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）： 1 . 理解映射与函数概念，掌握有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数的特点； 2. 培养学生应用函数解决实际问题的能力； 3. 训练学生“通过建立简单应用问题中的函数关系式”解决实际问题的的数学思. 教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 重点： 映射与函数的概念。 难点： 复合映射。 主要内容 第二节 映射与函数 一、函数的概念 1. 映射的概念 定义 设 ,YX 是两个非空集合，如果存在一个法则 f ，使得对 X 中每个元素 x ，按法 则 f ， 在 Y 中有唯一的元素 y 与之对应，则称 f 为 X 到 Y 的映射 , 记 作 ： YXf ,其中 y 元素 x （在映射 f 下）的像。并记作 xf )( ，即 y f x ( ) 而元素 x 称 为元素 y （在映射 f 下）的一个像；集合 X 称为映射 f 的定义域，记作 Df ,即 Df X； X 中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作 Rf 或 f X( ) ，即： R . XxxfXf }|)({)( . 需要注意的问题: (1) 构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合 X , 即定义域 f XD , 集合 Y , 即值 域的范围: f YR ；对应法则 f , 使对每个 Xx , 有唯一确定的 xfy )( 与之对应. (2) 对每个 Xx , 元素 x 的像 y 是唯一的; 而对每个 Ry f ，元素 y 的原像不一定 是唯一的; 映射 f 的值域 Rf 是 Y 的一个子集, 即 f YR , 不一定 f YR