《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第九章 重积分 9-2 二重积分的计算法（2）

二重积分化为二次积分的公式（3）r = p(0)区域特征如图D0 ≤r ≤β(0)0≤0≤2元,V0 f(rcos, r sin0)rdrde(0)2元def(r cos,r sinO)rdr.0极坐标系下区域的面积α=（rdrd0.D经济数学微积分

( cos , sin ) d d D f r r r r     2 ( ) 0 0 d ( cos , sin ) d . f r r r r    =      极坐标系下区域的面积 d d . D   = r r  二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征如图 0  r  ( ). D o A r =() 0    2

JJ f(x,y)dxdy 的极坐标二次积分例1 写出积分D形式，其中积分区域D=(x,y)I 1-x≤y≤/1-x2, 0≤x≤1)9x=rcosox° +y* =1解在极坐标系下y=rsina0.80. 6所以圆方程为r=1，0.41x+y=l0.2直线方程为r:sin + cos θ.20.40.60.8EJ f(x, y)dxdyde1 f(rcose,rsinO)rdr.1Dsin+cos?L微积分经济数学

例 1 写出积分 ( , )d d D f x y x y  的极坐标二次积分 形式，其中积分区域 {( , )| 1 1 , 2 D = x y − x  y  − x 0  x  1}. x + y = 1 1 2 2 解 在极坐标系下 x + y =    = =   sin cos y r x r 所以圆方程为 r = 1, 直线方程为 sin cos 1 + r = , ( , )d d D f x y x y  2 1 1 0 sin cos d ( cos , sin ) d . f r r r r       + =  

计算dxdy，其中 D是由中心在例2D原点，半径为α的圆周所围成的闭区域解在极坐标系下D: 0≤r≤a,0≤0≤2元.2元5enYderdrVD=元(1微积分经济数学

例 2 计 算 2 2 d d x y D e x y − −  ，其中 D 是由中心在 原点，半径为a的圆周所围成的闭区域. 解 在极坐标系下 D：0  r  a，0    2. 2 2 d d x y D e x y − −  2 2 0 0 d d a r e r r   − =   (1 ). 2 a e − =  −

例3求广义积分e-xdx.0D2解 D, ={(x,J)[x2 +y?≤R"})SD, =((x,y)/x? + y? ≤2R2)D,R2RS=((x,y)/0≤x≤R,0≤y≤R)显然有 D, CSCD(x ≥ 0, y ≥ 0)e-x?-y2 > 0,Sdxdy≤dxdydxdy<PDis电经济数学微积分

例 3 求广义积分 2 0 d x e x  −  . 解 {( , )| } 2 2 2 D1 = x y x + y  R {( , )| 2 } 2 2 2 D2 = x y x + y  R {x  0, y  0} S = {(x, y)| 0  x  R,0  y  R} 显然有 D1  S  D2 0, 2 2  − x − y  e  2 2 1 d d x y D e x y − −  2 2 d d x y S e x y − −   2 2 2 d d . x y D e x y − −  D1 SD2 S D1 D2 R 2R