$2标准形二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型(1)dx+dx+.+dx.本节主要内容【配方法1.一般数域P上二次型化为标准形的方法【合同变换法【配方法2实二次型化为标准形的方法3合同变换法特征值法（正交替换）在第九章第六节一、配方法例1化二次型f(,x2，)=x-4x+2x+4x+2为标准形f(x,x2,x)=x-4xx2+2x +4x+2x=(x-4xx +2xx)+4x +2x=[x2 +2x(-2x, +x)+(-2x +x)]-(-2x +x,)* +4x +2x=(x-2x+x）-4x+4x-x+4x+2x=(x-2x, +x)+4x +x例2化二次型f(,x)=x++x为标准形[x,=yi+y2令x=-y2[x=y36
6 §2 标准形 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n d x d x d x . （1） 本节主要内容 1. 一般数域 P 上二次型化为标准形的方法 配方法 合同变换法 2 实二次型化为标准形的方法 配方法 合同变换法 特征值法(正交替换）在第九章第六节 一、配方法 例 1 化二次型 2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x ( , , ) 4 2 4 2 为标准形 2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x ( , , ) 4 2 4 2 2 2 2 1 1 2 1 3 2 3 ( 4 2 ) 4 2 x x x x x x x 2 2 2 2 2 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 [ 2 ( 2 ) ( 2 ) ] ( 2 ) 4 2 x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 3 3 2 3 ( 2 ) 4 4 4 2 x x x x x x x x x 2 2 1 2 3 2 3 3 ( 2 ) 4 x x x x x x 例 2 化二次型 1 2 3 1 2 2 3 1 3 f x x x x x x x x x ( , , ) 为标准形 令 1 1 2 2 1 2 3 3 x y y x y y x y
1定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1）的形式。ZZaxx用归纳法证明：对于二次型f(x,x,,x)=>i=l j=ln=1时，f(x)=au已经是标准形了，定理成立假设定理对于n-1成立现在考虑n元二次型{(s,x)=之a,，假设它不为零.--(1）如果含有平方项，即有某个a.±0．不妨设a±0，我们采用配方法，把含有x的项集中一起配方f(x,x,,x)=ax+2a2x+2anx+..+2anxx+a.xx=2/=21(++2 4+2 4*+24)+24,aui=2 /=2(a+a+a+.+awx)--(a2$+ag++aux,)+22a,x,-anaui=-(a+a2+4g++amx,)+22bxxaui=2 j=2=am+ax+ag+.+anxJy2=x2令.[y,=xn1a12a13a,xVVynanaua1an化为即经线性替换X2= y2.X=yn1.2byyjf(x,x,x,"x):aili=2 j=27
7 1 定理 1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平 方和（1）的形式. 证明; 对于二次型 1 2 1 1 , , , n n n ij i j i j f x x x a x x 用归纳法 n 1 时， 2 1 11 1 f x a x 已经是标准形了，定理成立 假设定理对于 n 1 成立 现在考虑 n 元二次型 1 2 1 1 , , , n n n ij i j i j f x x x a x x , 假设它不为零. (1) 如果含有平方项，即有某个 0 ii a . 不妨设 11 a 0 ,我们采用配 方法,把含有 1 x 的项集中一起配方 2 1 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 2 , , , 2 2 2 n n n n n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x x a x x 2 2 11 1 11 12 1 2 11 13 1 3 11 1 1 11 2 2 1 ( 2 2 2 ) n n n n ij i j i j a x a a x x a a x x a a x x a x x a 2 2 11 1 12 2 13 3 1 12 2 13 3 1 11 11 2 2 1 1 ( ) ( ) n n n n n n ij i j i j a x a x a x a x a x a x a x a x x a a 2 11 1 12 2 13 3 1 11 2 2 1 ( ) n n n n ij i j i j a x a x a x a x b x x a 令 1 11 1 12 2 13 3 1 2 2 n n n n y a x a x a x a x y x y x 即经线性替换 12 13 1 1 1 2 3 11 11 11 11 2 2 1 n n n n a a a x y y y y a a a a x y x y 化为 2 1 2 3 1 11 2 2 1 ( , , , , ) n n n ij i j i j f x x x x y b y y a
byy,对二次型应用归纳假设，存在非退化的线性替换1=2 j=2z,=C2y,+Cy,+..+C2nynZ,=C22+C33Js+.+Cnyn能使它变成平方项的和d++d,-,2n=Cn2y2+Cn3y,+...+Cmn于是，经过非退化线性替换2=Z,=C22+C23y3+..+C2nynz3=C32J2+C33ys++Cny，化为平方项的和=,=Cn2y2+Cn3y3+...+Cmyn(x)=+d-+…+d定理成立au(2）如果不含有平方项，即所有a.=0．因为我们假设它是非零二次型，所以至少存在某个a0（i±j），不妨设a2±0X, =2, +22X2 = 21 - 22令 就得到了平方项，再按照（1)来考虑3x, = 23[X,=zn(3）如果a=a2==a=0，则α1==….=a=0，这时(sx)=a,x，是n-1元的二次型，利用归纳假设定理成i=2 j=2立例3f(x,,)=2x+2x-6x2x例 4 (x,x2,)=(-x) +(x-x) +(x2-)8
8 对二次型 2 2 n n ij i j i j b y y 应用归纳假设，存在非退化的线性替换 2 22 2 23 3 2 3 32 2 33 3 3 2 2 3 3 n n n n n n n nn n z c y c y c y z c y c y c y z c y c y c y 能使它变成平方项的和 2 2 2 2 n n d z d z 于是，经过非退化线性替换 1 1 2 22 2 23 3 2 3 32 2 33 3 3 2 2 3 3 n n n n n n n nn n z y z c y c y c y z c y c y c y z c y c y c y 化为平方项的和 2 2 2 1 2 3 1 2 2 11 1 ( , , , , ) n n n f x x x x z d z d z a .定理成立 (2) 如果不含有平方项，即所有 0 ii a . 因为我们假设它是非零二次 型,所以至少存在某个 0 ( ) ij a i j ,不妨设 12 a 0 令 1 1 2 2 1 2 3 3 n n x z z x z z x z x z 就得到了平方项, 再按照(1)来考虑 (3) 如果 11 12 1 0 n a a a ，则 21 31 1 0 n a a a ，这时 1 2 2 2 , , , n n n ij i j i j f x x x a x x 是 n 1 元的二次型,利用归纳假设定理成 立 例 3 f x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3 , , 2 2 6 例 4 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x , , ( ) ( ) ( )