(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 3.若λ是矩阵A的特征值,x是A的属于入的 特征向量,则 (1).kλ是矩阵KA的特征值 (2).λm是矩阵A⑦的特征值 3.设8(x)=anx”+a1x"+…+m 则g(λ)是矩阵g(A4)的特征值 (4).当A可逆时,元是矩阵A4的特征值 为A的伴随矩阵A的特征值
3. 若 是矩阵A的特征值, x 是A的属于的 特征向量，则 (2). m 是矩阵Am的特征值 (1). k 是矩阵 kA 的特征值 (4).当A可逆时， −1 是矩阵 A −1 的特征值 则 g() 是矩阵 g(A) 的特征值 1 0 1 ( ) m m m g x a x a x a − = + + + A 为A的伴随矩阵A*的特征值 (3).设
②上 HANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 定理设,2,…,是方阵A的特征值,P,P,… 是与之对应的特征向量,如果x1,2…, 各不相等,证明P1,P2,…,Pm线性无关。 证明设有常数x1,x2,…,xn使 p1+x2D2+…+ rmp=0 则4(x,n1+x2P2+…+xnDn)=0, Mx,, +n2x2p 2+.+Anxm Pm=0, 类推之,有 丌x;D1+2x2D2+…+1 rmp=0. k=1,2
证明 设有常数 x1 , x2 , , xm 使 0. x1 p1 + x2 p2 + xm pm = 则 ( ) 0, A x1 p1 + x2 p2 + xm pm = 即 0, 1 x1 p1 + 2 x2 p2 + m xm pm = 类推之，有 0. 1 1 1 + 2 2 2 + m m = k m k k x p x p x p (k = 1,2, ,m − 1) 定理 1 2 , , , m 设 是方阵A的特征值， 1 2 , , , m p p p 是与之对应的特征向量，如果 1 2 , , , m 各不相等，证明 p p p 1 2 , , , m 线性无关
(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 把上列各式合写成矩阵形式,得 m-1 02 11922, (0,0,…,0) 上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列 式当各λ不相等时,该行列式不等于0,从而该矩阵 可逆于是有(x1p,2x2P2,…,xnpn)=(0.,0,…,0) 即xP=0(2=12,,m但D≠故x=00=12,…,m) 所以向量组n,P2…,Pm线性无关
把上列各式合写成矩阵形式，得 ( ) − − − 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 , , , m m m m m x p x p xm pm = (0,0, ,0) 可逆 于是有 式 当各 不相等时 该行列式不等于 从而该矩阵 上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列 . , , 0, i ( , , , ) (0,0, ,0), x1 p1 x2 p2 xm pm = x p 0 ( j 1,2, ,m). 即 j j = = 0, j 但 p x 0( j 1,2, ,m). 故 j = = , , , . 所以向量组 p1 p2 pm 线性无关
(上潇文大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 推论 设A,2…,,是n阶方阵A的不同的特征值, an1,c2,…,O1n是A对应于1的线性无关 的特征向量,则向量组 11512,51721225 2 s1, 5 线性无关。 定理λ是n阶方阵A的k重特征值,V是其对应的 特征子空间,则特征子空间的维数 dim(v)≤k,即几何重数不超过代数重数
推论 线性无关。 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 , , , ; , , , ; ; , , , s r r s s sr 定理 是n 阶方阵A的k 重特征值 ，V是其对应的 特征子空间，则特征子空间的维数 dim (V ) k , 即几何重数不超过代数重数。 1 2 , , , 设 s 是n 阶方阵A的不同的特征值， 1 2 , , , i i i ir 是A对应于 的线性无关 的特征向量，则向量组 i
(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 汪 属于不同特征值的特征向量是线性无关的 2.属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量 3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值 而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一; 个特征向量不能属于不同的特征值 3的说明因为如果设同时是4的属于特征值孔,n的 (1≠2)特征向量,即有 Lx=nx, Ax=nx →x=x →(41-42)x=0, 由于1-2≠0,则x=0,与定义矛盾
注意 １. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的． ２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． ３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值 而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值． ( )的特征向量 即有 因为 如果设 同时是 的属于特征值 的 , , , 1 2 1 2 x A Ax = 1 x, Ax = 2 x 1 x = 2 x ( ) 0, 1 − 2 x = 0, 由于1 − 2 则x = 0, 与定义矛盾 . 3的说明