§5无穷大量与无穷小量 由于lim f(x)=A等同于 lim[f(x)-A]=0,因 x→x0 x→x0 此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是 相同的.所以有人把“数学分析”也称为“无穷小 分析”， 一、无穷小量 二、无穷小量阶的比较 三、无穷大量 四、渐近线 前页 后页 返回
前页 后页 返回 二、无穷小量阶的比较 §5 无穷大量与无穷小量 由于 等同于 因 0 lim[ ( ) ] 0, x x f x A → − = 0 lim ( ) x x f x A → = 分析”. 相同的. 所以有人把 “数学分析” 也称为 “无穷小 此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是 四、渐近线 三、无穷大量 一、无穷小量 返回
无穷小量 定义1设∫在点x的某邻域U(x0)内有定义, 若lim∫(x)=0,则称∫为x→x时的无穷小量 x→ 若f在点x的某个空心邻域内有界,则称∫为 x→x0时的有界量 类似地可以分别定义∫为 x→x,x→x,x→0,x→+,x→-00 时的无穷小量和有界量. 前页】后页)返回
前页 后页 返回 一、无穷小量 定义1 设 f 在点x0的某邻域U (x0 )内有定义， lim ( ) 0, 0 = → f x x x 若 . 则称 f 为 x → x0时的无穷小量 类似地可以分别定义 f 为 时的无穷小量和有界量. . x → x0 时的有界量 0 若 f x 在点 的某个空心邻域内有界， 则称 f 为 , , , → 0 → 0 → + − x x x x x x → +, x → −
例如:x-1为x→1时的无穷小量; √1-x2为x→1时的无穷小量; sInx 为x→∞时的无穷小量 sinx为x→∞时的有界量 显然,无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷 小量 对于无穷小量与有界量,有如下关系: 前页】后页)返回
前页 后页 返回 显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷 例如: x − 1为 x → 1 时的无穷小量； 对于无穷小量与有界量，有如下关系： 1 − x 2 为 x → 1 − 时的无穷小量 ； sin ; x x x 为 时的无穷小量 → sin . x x 为 时的有界量 → 小量
1.两个(类型相同的)无穷小量的和,差,积仍是 无穷小量 2.无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量 性质1可由极限的四则运算性质直接得到 下面对性质2加以证明. 设limf(x)=0,|g(x)|≤M,x∈U(x0).对于任意 x→x0 的e>0,因为imf(x)=0,所以存在δ>0,使得当 x→>x0 0<|x-x0<时,f(x)4M+1 从而 前页】后页)返回
前页 后页 返回 1. 两个(类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是 2. 无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量. 性质1可由极限的四则运算性质直接得到. 的 0, 因为 lim ( ) 0, 所以 0 = → f x x x 存在 0, 使得当 无穷小量. 下面对性质２加以证明. 0 0 | | , | ( ) | , 1 x x f x M − + 时 从而 0 0 lim ( ) 0, | ( ) | , ( ). x x f x g x M x U x → 设 对于任意 =
I f(x)g(x)ka. 这就证明了f(x)g(x)是x→>x时的无穷小量 例如:x为x→0时的无穷小量,im为x→0时 的有界量,那么 rsIn为x→0时的无穷小量 应当注意,下面运算的写法是错误的: lim xsin -=lim x lim sin -=0 x→0 xx-0x→>0x 前页】后页)返回
前页 后页 返回 0 这就证明了 f x g x x x ( ) ( ) . 是 → 时的无穷小量 例如: x 为 x → 0 时的无穷小量，sin 1 x 为 x → 0 时 0 . 1 的有界量，那么 xsin x 为 x → 时的无穷小量 0. 1 lim lim sin 1 lim sin 0 0 0 = = → → → x x x x x x x 应当注意, 下面运算的写法是错误的： | ( ) ( ) | . f x g x