(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 当41=4时,由(4E-4)x=0 4-31x1)(0 4-3八x2)( 即 1人 xx 解得x1=-x2 所以对应的特征向量可取为 p2
, 0 0 1 4 3 4 3 1 2 1 = − − x x . 1 1 2 − p = 所以对应的特征向量可取为 , x1 x2 解得 = − , 0 0 1 1 1 1 2 1 = x 即 x 当 1 = 4 时 ,由 (4 0 E A x − = )
(上潇文大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 例2求矩阵A=-430的特征值和特征向量 解 元+1-10 AE-A|=42-30|=(-2)(2-1) 0x-2 所以4的特征值为a1=22=13=1 当1=2时,由(2E-A)x=0 解得 即/2+1-1 , 基础解系: 0 42-30 0 所以kp1(k≠0是对应于礼1=2的全部特征值 口口口
例２ . 1 0 2 4 3 0 1 1 0 求矩阵 的特征值和特征向量 − − A = 解 2 1 1 0 4 3 0 ( 2)( 1) , 1 0 2 E A + − − = − = − − − −2, 1. 所以A的特征值为1 = 2 3 = 当 1 = 2 时 ,由 1 2 3 2 1 1 0 4 2 3 0 0 1 0 2 2 x x x + − − = − − (2 0 E A x − = ) 即 1 0 0 , 1 p = ( 0) 2 . 所以k p1 k 是对应于1 = 的全部特征值 解得 基础解系：
(上潇文大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 当2=43=1时,由(E-A)x=0 2-10 101 而 E-A=4-20~012 000 解得 基础解系:p2 所以kP2(k≠0是对应于2=3=的全部特征值
2 1 0 1 0 1 4 2 0 0 1 2 , 1 0 1 0 0 0 E A ~ − − = − − − 当 2 3 = = 1 时 ,由 ( E A x − = ) 0 而 2 1 2 , 1 p − = − 解得 基础解系： ( 0) 1 . 所以k p2 k 是对应于 2 3 = 的全部特征值
(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 例4证明:若几是矩阵A的特征值,x是A的属孑的特征向量,贝 ①)x是4的特征值(m是任意常数 (2)当4可逆时,x是A的特征值 是特征值的性质 证明(1)∵Ax=Ax A(4x)=4(x)=(4x)=(x)→A2x=x2x 再继续施行上述步骤m-2次,就得 2x 故和是矩阵4"的特征值,且x是Am对应于的特 征向量
例４ 证明：若 是矩阵A的特征值， x 是A的属于 的特征向量，则 (1) 是A 的特征值(m是任意常数). m m (2) , . 当A可逆时 −1是A −1的特征值 证明 (1) Ax = x A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) A x x 2 2 = 再继续施行上述步骤 m − 2 次，就得 A x x m m = . , 征向量 故 m 是矩阵A m的特征值 且 x是 A m 对应于 m的特 是特征值的性质
(上潇文大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 、特征值和特征向量的性质 1.设n阶方阵A的特征值为 1,2… 则 (1)λ+2+…+xn=a1+a2+…+am; (2)142…n=A 称为矩阵的迹 2.A与其转置矩阵AT有相同的特征值,事实上 有相同的特征多项式
(1) ; 1 2 + n = a11 a22 + ann (2) . 12 n = A 二、特征值和特征向量的性质 1 2 , , , n 1. 设n 阶方阵A的特征值为： 则 2. A 与其转置矩阵AT 有相同的特征值，事实上 有相同的特征多项式。 称为矩阵的迹