第二章极限的计算 极限是在研究变量的变化趋势时引出的一个基本概念 微积分学中的很多重要概念,如连续、导数、定积分、 级数等都是建立在极限的基础上 极限方法是高等数学里的重要方法
1 第二章 极限的计算 极限是在研究变量的变化趋势时引出的一个基本概念. 微积分学中的很多重要概念, 如连续、导数、定积分、 级数等都是建立在极限的基础上。 极限方法是高等数学里的重要方法
2.1极限的概念与运算法则 (一)数列极限 称按照一定顺序排列的可列个数x12x2,…,xn 为数列,记为{x},其中x称为数列的通项或第m项, n称为x的序号 如2.4.8.2 {2 1-11-1…(-1y,…(-y) 都是数列
2 （一）数列极限 2.1 极限的概念与运算法则 称按照一定顺序排列的可列个数 1 2 , , , , n x x x 为数列， , n x n 其中x n 称为数列的通项或第 项, . n n x 称为 的序号 如 2, 4, 8, ,2 , ; n 1 1 1 1, , , , , ; 2 3 n {2 } n 1 n 1 1, 1,1, 1, ,( 1) , n+ − − − 都是数列. 1 ( 1)n+ − 记为
问题:当n无限增大时(用符号n→>O表示)对应的x是否能 无限接近于某个确定的数值?若是的话,这个数值为多少? 例1:“一尺之棰,日截其半,万世不竭 《庄子杂篇天下》 第一天剩下的长度为"21、 第二天剩下的长度为X2222 第n天剩下的长度为X 由此得到一个数列 ,通项为(n∈N+ 2222 当n无限增大时,立无限地接近于0.用符号→>0表示
3 例1：“ 一尺之棰，日截其半，万世不竭 ” 1 1 ; 2 第一天剩下的长度为 X = 2 2 1 1 1 ; 2 2 2 第二天剩下的长度为 X = = 1 ; 2 n n 第n X 天剩下的长度为 = 2 3 1 1 1 1 1 , , ( ). 2 2 2 2 2 n n n N+ 由此得到一个数列 ， ， ， ， 通项为 --------《庄子.杂篇.天下》 问题: ( ), n 当n n x 无限增大时 用符号 → 表示 对应的 是否能 无限接近于某个确定的数值? 若是的话, 这个数值为多少? 1 , 0. 2 n 当n无限增大时 无限地接近于 1 0 . 2 用符号 n → 表示
两个数a与b之间的接近程度可用绝对值|b-a|来度量, b-a越小,则a与b就越接近 因为只要n足够大,xn-0即可以小于任意给定的正数, 2n 故说当n无限增大时,x,无限接近于0 例2计算由抛物线y=x2,直线x=1及x轴所围成的 曲边三角形的面积 “以直代曲
4 | | , | | , . a b b a b a a b − − 两 个 数 与 之 间 的 接 近 程 度 可 用 绝 对 值 来 度 量 越 小 则 与 就 越 接 近1 ,| 0 | 2 n n 因 为 只 要n x 足够大 − 即 可 以 小 于 任 意 给 定 的 正 数, , 0. n 故 说 当n x 无限增大时 无 限 接 近 于 例2. 2 计 算 由 抛 物 线y x x x = = , 1 直线 及 轴 所 围 成 的 曲 边 三 角 形 的 面 积. “以直代曲
数列极限的描述性定义: 给定数列{xn},若当n无限增大时,x无限地趋向于某个 常数A则称为n趋于无穷时{xn}的板限( (limit),记作 imxn=A,或x,->A(n→>) n→) 注:数列对应着数轴上一个点列可看作一动点 在数轴上依次取x,x2…,xn… limx,=A表示当n足够大时,点x都聚集在点A周围. xs xw+xnA M+244 3
注： 5 数列对应着数轴上一个点列可看作一动点 在数轴上依次取 数列极限的描述性定义: , , , n n n x n x A A n x 给定数列 若当 无限增大时 无限地趋向于某个 常数 则称 为 趋于无穷时 的极限(limit), 记作 lim , n n x A → = ( ). n 或 x A n → → 1 x 3 A x x 2 xN+1 xn xN+2 x4 x lim n n x A → = n 表示当n x A 足够大时,点 都聚集在点 的周围. 1 2 , , , , . n x x x 5 x