第五章向量至间 5.1向量空间的定义 52向量的线性相关性 53基维数和坐标 5.4子空间 55向量空间的同构
第五章 向量空间 5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构
§51向量空间的定义 向量空间概念的引入 向量空间的定义 、向量空间的例子 四、向量空间的基本性质
§5.1 向量空间的定义 一、向量空间概念的引入 二、向量空间的定义 三、向量空间的例子 四、向量空间的基本性质
向量空间概念的引入 例1设C是复数集合,R是实数域,对C中任意两个数a和 b,有a+b∈C,对任意的k∈R,ka∈C.并且复数集合C对数的加 法和乘法运算,满足下面的运算律: 1)a+b=b+a; 2)(a+b)+c=a+(b+C); 3)0+a=a; 4)对任意a∈C,存在b∈C,使a+b=0 5k(a+b)=ka+kb 6)(k+ya=ka+la; 7)(k)a=k(a); 8)1a=a 这里a,b,C是任意复数,k,是任意实数
一、向量空间概念的引入 例1 设C是复数集合，R是实数域，对C中任意两个数a和 b，有a+bC, 对任意的kR ，kaC. 并且复数集合C对数的加 法和乘法运算, 满足下面的运算律： 1) a+b＝b+a； 2) (a+b)+c＝a+(b+c)； 3) 0+a＝a； 4) 对任意aC ，存在bC ，使a+b＝0； 5) k(a+b)＝ka+kb； 6) (k+l)a＝ka+la； 7) (kl)a＝k(la)； 8) 1a＝a. 这里a，b，c是任意复数，k，l是任意实数
例2在平面上建立直角坐标系后,把从原点出发的一切向 量组成的集合记为v2 对V2中任意向量X和y,用平行四边形法则,有XYeV2对 任意实数k以及v2中任一向量X,有kX∈v2.并且对任意的x,Y, z∈V2,a,b∈R,有 1)X+y=y+X:; 2)(X+Y)+z=x+(+2; 3)0+X=X,其中0是v2中的零向量 4)对任意X∈V2,存在Y,使X+Y=0,其中Y是X的负向量 5a(X+y=aLtaY 6)(a+bXaX+bx; 7(ab)X=a(bX) 8)1X=X
例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向 量组成的集合记为V2 . 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2 . 对 任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2 . 并且对任意的X, Y, ZV2，a, bR，有 1) X+Y＝Y+X； 2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)； 3) 0+X＝X，其中0是V2中的零向量； 4) 对任意XV2，存在Y，使X+Y＝0，其中Y是X的负向量； 5) a(X+Y)＝aX+aY； 6) (a+b)X＝aX+bX； 7) (ab)X＝a(bX)； 8) 1X＝X
例3设厂n区是次数不超过m的系数在F中的多项式连同 零多项式组成的集合.对任意两个多项式x),g(x)∈Fnx], f(x)+9(x)∈Fn区×]又对F中的任意数k,k(x)∈Fn[x并且,对 Fn[×]中任意多项式f(x),g(x),h(x)及F中任意数a,b,有 1)f(x)+g(x)=9(×)+f(x); 2)[f(X)+g(x)]+h(x)=f(x)+[9(x)+h(x)] 3)0+f(x)=f(x,0是Fn区x]中的零多项式; 4)对任意f(x)∈Fn[×,存在g(x,使f(x)+9(x)=0; 5)a·(f(×)+g(X)=a·f(×)+a·g(X); 6)(a+b)f(×)=af(X)+bf(x); 7)(ab)·f(X)=a(bf(x); 8)1f(×)=f(×)
例3 设Fn [x]是次数不超过n的系数在F中的多项式连同 零多项式组成的集合. 对任意两个多项式f(x), g(x)Fn [x] ， f(x)+g(x)Fn [x]. 又对F中的任意数k, kf(x)Fn [x]. 并且，对 Fn [x]中任意多项式f (x), g(x), h (x)及F中任意数a, b，有 1) f (x)+g(x)＝g(x)+f (x)； 2) [f (x)+g(x)]+h(x)＝f (x)+[g(x)+h(x)]； 3) 0+f (x)＝f (x), 0是Fn [x]中的零多项式； 4) 对任意f (x) Fn [x]，存在g(x),使f (x)+g(x)＝0； 5) a·(f (x)+g(x))＝a ·f (x) +a·g(x)； 6) (a+b) ·f (x)＝a·f (x)+b·f(x)； 7) (ab) ·f (x)＝a·(b·f(x))； 8) 1·f (x) ＝f (x)