上海交通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质
(上定关孝 、特征值与特征向量的概念 定义:设A是n阶矩阵,如果数入与n维非零列向量x使得 Ax=nx 称λ为A的一个特征值,ⅹ为对应于特征值λ 的特征向量 注: ●●●●●● 1.特征值向量≠0,特征值问题是对方阵而言的. :2.n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组 (死E-A)x=0有非零解的值λ, :3.λ是A的特征值,则 九E-A=0 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ∴4.的特征向量的全体加零向量构成R的线性 回口子空间,记V其维数为nr(-A)
一、特征值与特征向量的概念 定义： 设A 是n阶矩阵，如果数 与n维非零列向量 x使得 Ax x = 称 为A的一个特征值， x 为对应于特征值 的特征向量。 注： 1. 特征值向量 x 0, 特征值问题是对方阵而言的. (E A x − = ) 0 2. n 阶方阵A 的特征值，就是使齐次线性方程组 有非零解的值 ， E A − = 0 3. 是A 的特征值，则 4. 的特征向量的全体加 零向量 构成 R n 的线性 子空间，记 V ,其维数为 n-r(E- A)
(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 九-a1 12 九E-A=0 21 22 n -aml n2 n 这是一个n次方程,称为矩阵A的特征方程 记f(2)=AE-A它是一个次多项式, 称为A的特征多项式。 注:在复数域中,特征值有n个(包括重数) 在一般数域中不然
E A − = 0 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a − − − = − − − 这是一个n 次方程，称为矩阵A的特征方程 记 f E A ( ) = − 它是一个n次多项式， 称为A 的特征多项式。 注： 在复数域中，特征值有n个（包括重数） 在一般数域中不然
(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 求矩阵特征值与特征向量的步骤: 1.计算A的特征多项式det(AE 2求A的特征方程det(元E-A)=0的全部根, 即A的特征值1,2…,几n 3.对特征值,求齐次线性方程组 (, E-ax 的非零解,就是对应于九,的特征向量
求矩阵特征值与特征向量的步骤： 1. 计算A的特征多项式 det(E A − ) ( ) 0 iE A x − = 3. 对特征值 i , 求齐次线性方程组 的非零解，就是对应于 i , 的特征向量。 2. 求A的特征方程 det 0 (E A − =) 的全部根， 1 2 , , , 即A的特征值 n
(上定关孝 例1-73--1 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 的特征值和特征向量 13 解A的特征多项式为 元-31 (4-3)2-1 1x-3 (孔-4)(-2) 所以4的特征值为A1=2,2=4 当=2时,由(2E-A)x=0 2-3 I 12-3 x1+v2 =0 x1-y2 =0 口口口口所得所对应的特征向量为:
解 例1 . 1 3 3 1 求 的特征值和特征向量 − − A = A的特征多项式为 3 1 1 3 − − 2 = − − ( 3) 1 = − − ( 4)( 2) 2, 4. 所以A的特征值为1 = 2 = 1 2 2 3 1 0 , 1 2 3 0 x x − = − − = − + = 0 0 1 2 1 2 x x 即 x x . 1 1 1 p = 所得所对应的特征向量为: 当 1 = 2 时 ,由 (2 0 E A x − = )