第四节微积分基本公式 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的 联系 S(t1) s(t s(t 设位置函数为(t),速度函数为(),在时间 间隔[1,t2呐物体经过的路程是速度函数 v(t)在[t1,12上的定积分
第四节 微积分基本公式 • 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的 联系 0 ( ) 1 s t ( ) 2 s t s(t) 在 上的定积分 间隔 内物体经过的路程是速度函数 设位置函数为 速度函数为 在时间 ( ) [ , ] [ , ] ( ), ( ), 1 2 1 2 v t t t t t s t v t 2 1 ( ) t t v t dt
另一方面这段路程又是位置函数s(1)在区 间t1t2l上的增量 S(2)-S(1) 所以[v)dt=(2)-(1) 注意到s(t)=v(t),即位置函数()是速度 函数v(t)的原函数 猜想:设F(x)是f(x)在区间a,b上的原函 数,则 f(x)dx= F(6)-F(a
间 上的增量 另一方面 这段路程又是位置函数 在区 [ , ] , ( ) 1 2 t t s t ( ) ( ) 2 1 s t − s t ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 v t dt s t s t t t = − 所以 函数 的原函数。 注意到 ，即位置函数 是速度 ( ) '( ) ( ) ( ) v t s t = v t s t 数 则 猜想：设 是 在区间 上的原函 , F(x) f (x) [a,b] = − b a f (x)dx F(b) F(a)
二、积分上限函数及其导数 设f(x)在{a,b上连续,x∈[a,b]考察f(x)在 [a,x]上的定积分 ()t 对于[a,b让上每一个x,都得到定积分的一个 对应值.,所以广(是定义在a上的 个函数,记作 p(x)=|f()t(a≤x≤b) 称为积分上限的函数
二、积分上限函数及其导数 上的定积分 设 在 上连续， 考察 在 [ , ] ( ) [ , ] [ , ], ( ) a x f x a b x a b f x x a f (t)dt 个函数，记作 对应值，所以 是定义在 上的一 对于 上每一个 ，都得到定积分的一个 ( ) [ , ] [ , ] f t dt a b a b x x a (x) f (t)dt (a x b) x a = 称为积分上限的函数
定理1如果函数f(x)在区间a,b上连续,则积分上 限的函数 c(x)=f() 在an,b上具有导数,且 (以sdr f(tdt dx f(x) (a≤x≤b) 即:积分对其上限的导数等于被积函数在其上限 处的值
限的函数 定理 如果函数 在区间 上连续，则积分上 1 f (x) [a,b] = x a (x) f (t)dt 在[a,b]上具有导数，且 ( ) ( ) '( ) ( ) f x a x b f t dt dx d x x a = = 处的值。 即：积分对其上限的导数等于被积函数在其上限
证设x∈(a,bΔx是增量,且x+Aw∈(an,b),则 Φ(x+△x) 于是 △Φ=Φ(x+△x)-d(x) y=f(x) f(dt-Cf()dt x+△x s x+Ar bx =f()(x+△x)-x](积分中值定理 f(s)mx (在x与x+Ax之间
证 设x(a,b),x是增量，且x + x(a,b),则 + + = x x a (x x) f (t)dt 于是 = (x + x) − (x) + = − x x a x a f (t)dt f (t)dt = + − x + a x a x x x f (t)dt f (t)dt f (t)dt + = x x x f (t)dt = f ( )[(x + x) − x] = f ( )x （积分中值定理） （在x与x + x之间） (x) y = f (x) y 0 a x x + x b x f ( )