第6章共形映射 By付小宁
1 第6章 共形映射 By 付小宁
§1共形映射的概念 z平面内的任一条有向曲线C可用2=2(02.≤≤B 表示,它的正向取为增大时点z移动的方向,().为 条连续函数 如果z(t0)0,∝x,则表示z()的向量(把起点 放取在二0以下不一一说明)与C相切于点=2()
2 z 平面内的任一条有向曲线C可用 z=z(t), atb 表示, 它的正向取为t增大时点z移动的方向, z(t)为一 条连续函数. 如果z '(t0 )0,a<t0<b, 则表示z '(t)的向量(把起点 放取在z0 . 以下不一一说明)与C相切于点z0 =z(t0 ). z(t0 ) z(a) z(b) z '(t0 ) §1 共形映射的概念
事实上,如果通过C上两点P与P的割线PP的正向对 应于大的方向,则这个方向与表示=(o+△-=( △t 的方向相同 z(+△) O 当点P沿C无限趋向于点Po,割线PP的极限位置就是C 上P0处的切线因此,表示=()=m(+△1)-() △t 的向量与C相切于点=(4),且方向与C的正向一致
3 事实上, 如果通过C上两点P0与P的割线P0P的正向对 应于t增大的方向, 则这个方向与表示 t z t t z t Δ ( Δ ) ( ) 0 + − 0 的方向相同. O x y z(t0 ) P0 P z(t0+Dt) C (z) 当点P沿C无限趋向于点P0 , 割线P0P的极限位置就是C 上P0处的切线. 因此, 表示 t z t t z t z t t Δ ( Δ ) ( ) ( ) lim 0 0 Δ 0 0 + − = → 的向量与C相切于点z0=z(t0 ), 且方向与C的正向一致. z '(t0 )
我们有 l)Argz(0)就是z处C的切线正向与x轴正向间的夹角; 2)相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它 们交点处切线正向间夹角
4 我们有 1) Arg z '(t0 )就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角; 2) 相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它 们交点处切线正向间夹角 O x (z) z0 C1 C2
设函数w=f(z)将点z,z+△z分别影射为w, w+△w,向量(z,z+△z)与实轴的夹角为O 向量(W,w+△w)与实轴的夹角为q,则称 0-0为影射w=fz)产生的角度转动,即 p-6=Arg[(x+△)-f(2)-Arg[(z+△)-2 =Amg(=+)-(=Ad(=+A)-/() z+△z)-2 点z处转动角m(-0)=img/(=+A)-/(=) 0 当w=fz)解析时,点z处转动角=Agf(2)
5 设函数w=f(z)将点z，z+∆z分别影射为w， w+∆w，向量(z，z+∆z)与实轴的夹角为θ、 向量(w，w+∆w)与实轴的夹角为φ，则称 φ- θ 为影射w=f(z) 产生的角度转动，即 点z处转动角 当w=f(z)解析时，点z处转动角= z f z z f z Arg z z z f z z f z Arg Arg f z z f z Arg z z z D + D − = + D − + D − = − = + D − − + D − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] Argf (z) z f z z f z Arg z z D + D − − = D → D → ( ) ( ) lim ( ) lim 0 0