多维正态随机变量 21.2.20 联合概率密度为 p(x, y) 1(x-m)2 ex 2 270,o, v1-r 2(1-r 2r (x-m1)(y-m2),(y +2,(,y)∈R2 ex (x-M)2-(X-M) 2π∑ 记为(m)~N(M,∑)
多维正态随机变量 电子科技大学 21.2.20 , ( , ) , ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 exp 2 1 1 ( , ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 x y R x m y m y m r x m r r x y − + − − − − − − − = 联合概率密度为 − − − = − ( ) ( ) 2 1 exp 2π 1 1 2 1 X M X M 记为(ξ,η) ～N(M, Σ)
多维正态随机变量 21.2.20 多维正态随机变量 定义3.3.5设n维随机变量(1,2,2联 9···9。n 合概率密度为 15~29 ex (X-M)Σ(X-M) (2r)22 其中=(q)是h阶正定对称矩阵,其行列式, X=( 19~29· ),M=(,m2smn) 称(31,2,服从n维正态分布
多维正态随机变量 电子科技大学 21.2.20 二. 多维正态随机变量 定义3.3.5 设 n维随机变量(ξ1 , ξ2 ,…, ξn ) 联 合概率密度为 ( , ,..., ) x1 x2 xn − − − = − ( ) ( ) 2 1 exp (2π) 1 1 2 2 1 n X M X M ( , ,... ) , ( , ,... ) 1 2 1 2 = = n M m m mn X x x x 其中Σ=(σij)是n 阶正定对称矩阵, 是其行列式， 称(ξ1 , ξ2 ,…, ξn )服从n维正态分布
多维正态随机变量 21.2.20 1.q(x1,x2y…,xn)是概率密度 证明Σ是正定阵,存在正交矩阵T使 0 CETET 0 n →∑=TCT" Cs}z>0,i=1,2,…,n =T2-T 令X-M=T"Y,有 p(ux 19~29·°9n R
多维正态随机变量 电子科技大学 21.2.20 1.(x1 , x2 ,..., xn )是概率密度； 证明 Σ是正定阵，存在正交矩阵T 使 c i n c c C T T i i nn , 0, 1,2, , 0 0 2 2 2 1 1 = = = TCT C T T 1 1 , − − = = 令 X − M = TY ，有 x x xn dx dxn Rn ( 1 , 2 ,..., ) 1
多维正态随机变量 21.2.20 1m2 ex YY}d1… (2丌) R exp(-32)y1=1 √2πc;-∞ 2 注着式中行列式=0,n元概率密度无意 义,(31,2,5)可能服从退化正态分布或奇 异正态分布 2.M=(m1,m2y…,mn)是(1,2…,n)的均值 向量即 E(5;)=m1,i=1,2,…,n
多维正态随机变量 电子科技大学 21.2.20 n R n Y Y dy dy n 1 1 2 2 1 exp (2π) 1 2 1 − = − ) 1 2 exp( 2π 1 2 2 1 = − = − = i i i n i i dy c y c 注 若式中行列式 , n元概率密度无意 义, (ξ1 , ξ2 ,…, ξn )可能服从退化正态分布或奇 异正态分布. = 0 ( ) , 1,2, , ; , 2. ( , ,..., ) ( , , , ) 1 2 1 2 E m i n M m m m i i n n = = = 向 量 即 是 的均值