1,2 函数及其表示 121函数的概念 在初中我们已经学习过函数的概念,并且知道可以用函 数描述变量之间的依赖关系。现在我们将进一步学习函数及 0射高是指 其构成要素,下面先看几个实例 斜抛运动中,物体 (1)一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标,炮 飞行轨迹最高点的 弹的射高0为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随 时间t(单位:s)变化的规律是 这里,炮弹飞行时间t的变化范围是数集A=(110≤ ≤26},炮弹距地面的高度h的变化范围是数集 B=h|0≤h≤845},从问题的实际意义可知,对于数集A 中的任意一个时间t,按照对应关系(*),在数集B中都 有唯一确定的高度h和它对应 (2)近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现 了臭氧层空洞问题,图1.2-1中的曲线显示了南极上空臭氧 画l17晶
CHAPTER 吕通高中课程标准实验教科书数学1 层空洞的面积从1979~2001年的变化情况 根据图1.2-1中的曲线可知,时间t的变化范围是数集 A={t11979≤1≤2001},臭氧层空洞面积S的变化范围是 数集B={S10≤S≤26).并且,对于数集A中的每一个时 刻t,按照图中曲线,在数集B中都有唯一确定的臭氧层空 洞面积S和它对应 (3)国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活 量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.表1-1中恩格 尔系数随时间(年)变化的情况表明,“八五”计划以来 我国城镇居民的生活质量发生了显著变化 表11“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况 时间(年)011g8pe1sm61pg100 城镇居民家庭 恩格尔系数538529 49.949.94864444541.930.2379 请你仿照(1)(2)描述表1-1中恩格尔系数和时间 (年)的关系 分析、归纳以上三个实例,它们有什么共同点 归纳以上三个实例,我们看到,三个 变量之间的 关系都可以描述为:对于数集A中的每一个x,按照某种对 应关系∫,在数集B中都有唯一确定的y 应,记作 f:A→B 品数符号y 一般地,我们有 x)是由德国数 学家莱布尼世在 设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 18世纪引入的 f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯 确定的数f(x)和它对应,那么就称f1A→B为从集合A到 集合B的一个函数( funetion),记作 y=f(x),x∈A 18
架一草菜合与围数框念 第一章 其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域 ( domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集 合{f(x)x∈A叫做函数的值域( rilnge) 我们所熟悉的一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是 R,值域也是R对于R中的任意一个数x,在R中都有唯 一的数y=ax+b(a≠0)和它对应 二次函数y=ax2+br+c(a≠0)的定义域是R,值域是 B.当a>0时,B= 对于R中的任意一个数x,在B中都 有唯一的数y=ax2+bx+c(a≠0)和它对应 考了反比例函数y=点(k≠0)的定义域、对应关系和值域各是什么?请 上面的函数定义描述这个函数 研究函数时常会用到区间的概念 设a,b是两个实数,而且a<b.我们规定: (1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间 表示为[a,b (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间 表示为(a,b) )满足不等式a≤x<b或a<xb的实数x的集合叫 做半开半闭区间,分别表示为a,b),(a,b] 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点, 数轴表 x|a≤rb)闭区间[a,b xla<r<b)开区间 (a,b) xa<r≤b)半开半闭区间(a,b 19
CHAPTER 吕通高中课程标准实控教科书数学1 这些区间的几何表示如上表所示,在图中,用实心点表 示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作 无穷大”,“一∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无 穷大”我们可以把满足x≥a,x>a,xb,x<b的实数 的集合分别表示为[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b] 例1已知函数f(x)=√x+3+-1 (1)求函数的定义域; (2)求f(=3),(3)的值 (3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值 分析:函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如前 所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x),而没有指明 它的定义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义 的实数的集合 解:(1)使根式√x+3有意义的实数x的集合是{x|x≥ 3,使分式士2有意义的实数x的集合是(x≠-2 所以,这个函数的定义域就是 (x|x≥-3)∩(x|x≠-2 ={x|x≥-3,x≠-2 (2)f(-3)=√=3+3 在函数定义 ()=3+3+21哥+一+ 我们用号 表示函数 (3)因为a>0,所以f(a),f(a-1)有意义 其中f(x)表示x对 应的函数值,而不 f(a)=√a+3 是乘 -1)=a-13+a-1+2=a+2+a+1 由函数的定义可知,一个函数的构成要素为:定义域 20
第一草集合与因数概念 第一章 对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的, 所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,我们就 称这两个函数相等 例2下列函数中哪个与函数y=x相等? 你也可以利用 出例2中四个函数 (3)y=√x; 的图象,根据图象 进行判断 解:(1)y=(√x)2=x(x≥0),这个函数与函数 y=x(x∈R)虽然对应关系相同,但是定义域不相同.所 以,这个函数与函数y=x(x∈R)不相等 (2)y=Vx=x(x∈R),这个函数与函数 y=x(x∈R)不仅对应关系相同,而且定义域也相同.所 以,这个函数与函数y=x(x∈R)相等 x,x<0这个函数与函数 y=x(x∈R)的定义域都是实数集R,但是当x<0时,它 的对应关系与函数y=x(x∈R)不相同。所以,这个函数与 函数y=x(x∈R)不相等 (4)y=的定义域是{xx≠0},与函数y=x(x∈R) 的对应关系相同但定义域不相同.所以,这个函数与函数 y=x(x∈R)不相等 至此,我们在初中学习的基础上,运用集合和对应的语言刻画了函数 念,并引进了符号y=f(x),明确了函数的构成要素.比较两个函数定 义,你对函数有什么新的认识? ■■21