2.三角行列式 1)下三角行列式 0 0 2)上三角行列式 1112 0
11 21 22 11 22 1 2 11 12 1 22 2 11 22 0 ... 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 ... nn n n nn n n nn nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = 1) 下三角行列式 2) 上三角行列式 2.三角行列式
3)次上三角行列式 0 n(n-1) 000 4)次下三角行列式 0 0 0 n102|=(-1)2a1 ,1
1,1 1, 1 1, ( 1) 2,1 2, 1 2 1, 2, 1 , ,1 1, ( 1) 2, 1 2, 2 1, 2, 1 , ,1 , 1 , ... ... 0 ( 1) ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... 0 0 ... ( 1) ... ... ... ... ... ... n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − − − − − − = − = − 3) 次上三角行列式 4) 次下三角行列式
对换与排列奇偶性的关系 1.在排列中,将任意两个元素对调位置,其余 元素不动,这种作出新排列的过程叫做对换 将相邻两元素对换,称为相邻对换 定理1:对换一个排列中的任意两个元素,排列 改变奇偶性。 证明:该定理的证明可分为两步来证。第一步 来证明相邻对换的情况,第二步证明一般情况
1.在排列中，将任意两个元素对调位置，其余 元素不动，这种作出新排列的过程叫做对换。 将相邻两元素对换，称为相邻对换。 定理1:对换一个排列中的任意两个元素，排列 改变奇偶性。 证明：该定理的证明可分为两步来证。第一步 来证明相邻对换的情况,第二步证明一般情况。 三、对换与排列奇偶性的关系
设a1a1abb,bn a>b>…a1bab.b r(a1a1abh…bn)=k a>b(a1…a1bcb1…bn)=k-1 lasb r(a,a, bab, m=k+1 由此可见,相邻对换将改变排列的奇偶性。再 证一般情况,设: aC1…Cnb1bn a>a.abc.c ab,.6
由此可见，相邻对换将改变排列的奇偶性。再 证一般情况，设： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... ... ... ( ... ... ) ( ... ) 1 ( ... ) 1 a b l m l m l m l m l m ab ba ab a a b b a a b b a a b b k a b a a b b k a ba b a a b b k ba ⎯⎯⎯→ = = − = + 设 当 1 1 1 1 1 1 ... ... ... ... ... ... l n m a b l n m a a c c b b a a c c b a a b b b ⎯⎯⎯→
把上述对换分解成为: (1)a1…aC1…Cnb1…bn(21aC1… c bab…b, (.a,bc.,ab,b 把(1)作n+1次相邻对换得(2),把(2)再作n次相 邻对换可得(3),即共作了2n+1次相邻对换由(1) 而得到(3)。由前可知,作一次相邻对换,排列 的奇偶性改变一次,故由(1)到(3)排列的奇偶性 〓就改变了2n+1次,即由原来的奇排列就变成了 偶排列或由原来的偶排列变成了奇排列。l
1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1) ... ... ... (2) ... ... ... (3) ... ... ... l n m l n m l n m a a c c b b a a c c b b b b a a c c b a b a ab 把上述对换分解成为： 把 (1)作n+1次相邻对换得(2)，把(2)再作 n 次相 邻对换可得(3)，即共作了 2n+1 次相邻对换由(1) 而得到(3)。由前可知，作一次相邻对换，排列 的奇偶性改变一次，故由(1)到(3)排列的奇偶性 就改变了2n+1次，即由原来的奇排列就变成了 偶排列或由原来的偶排列变成了奇排列。 ▌