第一章函数与极限由y=x，-2<x<l可得x=y，-2<y<1于是反函数为y=x，-2<x<，由y=x2，1≤2得x=，1≤4，于是反函数为=xx4，由=2*2<x≤4可得x=log，4<y≤16，于是反函数为y=logz,4<x≤16，故所求函数的反函数为-2<x<1xy= x 1≤x≤4[log2 4<x≤16类型四函数的性质例5．判断下列函数的奇偶性(1) y=/x?+3 (x>0)11)其中a>0，a1,F(x)对于任何x,y恒有F(x+y)=F(x)+F(y)(2) y= F(x)(a-12[解题提示]：①判断给定函数的奇偶性，主要是根据奇偶性的定义，有时也用其运算性质②函数的奇偶性是相对于对称区间而言的，若定义域关于原点不对称，则该函数就不具有奇偶性③奇偶函数的运算性质：1°奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数2°偶数个奇（或偶）函数的积为偶函数3°一奇函数与一偶函数的乘积为奇函数④并非所有的函数都有奇偶性解：1）f(x)定义域为x>0，不关于原点对称，故函数无奇偶性1111α1=0 : g(-x)=-g(x),g(x)2)令g(x)=则g(x)+g(-x)=a-12q-121-ar2为奇函数，又令y=0，则F(x+0)=F(x)+F(O)，再令x=0，则F(O)=2F(0)：.F(O)=0，又F(O0)=F[x+(-x))=F(x)+F(-x)=0=F(-x)=-F(x)故F(x)为奇函数，所以11y= F(x)(-）为偶函数α-12例6.当xE[0,元)时，f(x)±0且f(x+元)=f(x)+sinx则在(-o0,+o0)内f(x)是（)（a）以元为周期的函数（b）以2元为周期的函数（c）以3元为周期的函数（d）不是周期函数[解题提示]:8
第一章 函数与极限 由 y = x ， − 2 < x < 1可得 x = y ，− 2 < y < 1于是反函数为 y = x ， − 2 < x < 1，由 ， 得 2 y = x 1 ≤ x ≤ 2 x = y ，1 ≤ y ≤ 4 ，于是反函数为 y = x,1 ≤ x ≤ 4 ，由 可得 ， ，于是反函数为 ，故所求函数的反函数为 y = 2 ,2 < x ≤ 4 x y x 2 = log 4 < y ≤ 16 log ,4 16 y = 2 < x ≤ x ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≤ ≤ ≤ − < < = log 4 16 1 4 2 1 2 x x x x x y x 类型四 函数的性质 例 5．判断下列函数的奇偶性 （1） 3 2 y = x + （ x > 0） （2） ) 2 1 1 1 ( )( + − = x a y F x 其中 a > 0 ，a ≠ 1，F(x)对于任何 x, y 恒有 F(x + y) = F(x) + F(y) [解题提示]： ○1 判断给定函数的奇偶性，主要是根据奇偶性的定义，有时也用其运算性质 ○2 函数的奇偶性是相对于对称区间而言的，若定义域关于原点不对称，则该函数就不具有奇偶性 ○3 奇偶函数的运算性质： 0 1 奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数 0 2 偶数个奇（或偶）函数的积为偶函数 0 3 一奇函数与一偶函数的乘积为奇函数 ○4 并非所有的函数都有奇偶性 解： 1） f (x) 定义域为 x > 0，不关于原点对称，故函数无奇偶性 2）令 2 1 1 1 ( ) + − = x a g x 则 0 2 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ) + = − + + − + − = x x x a a a g x g x ∴ g(−x) = −g(x), g(x) 为奇函数，又令 y = 0，则 F(x + 0) = F(x) + F(0)，再令 x = 0，则 F(0) = 2F(0) ∴F(0) = 0， 又 F(0) = F[x + (−x)] = F(x) + F(−x) = 0 ⇒ F(−x) = − F(x)故 F(x)为奇函数，所以 ) 2 1 1 1 ( )( + − = x a y F x 为偶函数 例 6．当 x ∈[0,π ]时， f (x) ≠ 0 且 f (x +π ) = f (x) + sin x 则在(−∞,+∞) 内 f (x) 是（ ） （a）以π 为周期的函数 （b）以2π 为周期的函数 （c）以3π 为周期的函数 （d）不是周期函数 [解题提示]： 8
第一章函数与极限①判断给定的函数f（x）是否为周期函数，主要是根据周期的定义，有时也用其运算性质②周期函数的运算性质：T1°若T为f(x)的周期，则f(ax+b)的周期为[a]2°f(x)，g(x)均是以T为周期的函数则f(x)±g(x)也是以T为周期的函数3°若f(x)，g(x)分别是以T,T,(T+T）为周期的函数，则(x)±g(x）是以T,T,的最小公倍数为周期的函数解：有题设条件f(x+元)≠f(x），所以(a)不入选f(x+2元)=f[(x+元)+元]=f(x+元)+sin(x+元)=[f(x)+sinx]-sinx=f(x)：f(x)是以2元为周期的函数，故选(b)例7.指出下列函数是否有界？1a≤x≤l，其中0<a<1(1) y=x2(2) y= xcosx,xE(-00,+00)[解题提示]：①函数f(x）有无界是相对于某个区间而言的②分辨无界函数与无穷大量不是一回事③同一区间上有界函数的和，差，积仍为该区间上的有界函数11（1）因为a≤x≤1，且0<a<l，所以α2≤x2≤1故1≤解：，因此当xe[a,]]时q2x-1有界V=2（2）Vm>0，取x=（2[ml+1)元（其中[ml表示m的整数部分），则cosx=-1此时1f(x)月2([m]+1)元·cos(2[m]+1)元=2([m]+1)元>m故当xE(-00.+00)时y=xcosx无界2.极限的概念，性质与计算类型五利用数列极限的定义证明极限n=0例8.用“ε-N"的方法证明limn?-39
第一章 函数与极限 ○1 判断给定的函数 f (x) 是否为周期函数，主要是根据周期的定义，有时也用其运算性质 ○2 周期函数的运算性质： 0 1 若 T 为 f (x) 的周期，则 f (ax + b)的周期为 | a | T 0 2 f (x) ， g(x) 均是以 T 为周期的函数则 f (x) ± g(x)也是以 T 为周期的函数 0 3 若 f (x) ，g(x) 分别是以 , ( ) T1 T2 T1 ≠ T2 为周期的函数，则 f (x) ± g(x) 是以 的最小 公倍数为周期的函数 1 2 T ,T 解： 有题设条件 f (x +π ) ≠ f (x) ，所以(a)不入选 ∵ f (x + 2π) = f[(x + π) + π ] = f (x + π ) + sin(x + π) = [ f (x) + sin x] − sin x = f (x) ∴ f (x) 是以 2π 为周期的函数，故选(b) 例 7．指出下列函数是否有界？ （1） , 1 1 2 = a ≤ x ≤ x y ，其中0 < a < 1 （2） y = x cos x, x ∈(−∞,+∞) [解题提示]： ○1 函数 f (x) 有无界是相对于某个区间而言的 ○2 分辨无界函数与无穷大量不是一回事 ○3 同一区间上有界函数的和，差，积仍为该区间上的有界函数 解： （1）因为 a ≤ x ≤1，且 0 < a < 1，所以 1故 2 2 a ≤ x ≤ 2 2 1 1 1 x a ≤ ≤ ，因此当 x ∈[a,1]时 2 1 x y = 有界 （ 2 ） ∀m > 0 ， 取 x = (2[m] +1)π （其中 [m] 表 示 m 的 整 数 部分）， 则 cos x = −1 此 时 | f (x) |=| 2([m] +1)π ⋅ cos(2[m] +1)π |= 2([m] +1)π > m 故当 x ∈(−∞.+ ∞) 时 y = x cos x 无界 2．极限的概念，性质与计算 类型五 利用数列极限的定义证明极限 例 8．用“ε − N ”的方法证明 0 3 lim 2 = n − n 9
第一章函数与极限nnn01分析：V>0找N>0，使当n>N时，有-0k6，即要使<6n2-3n-3n2-31nn由于n→，故设n>3，即有<8证明：不设n>3.V>0取n2-3n?-nn-1nN=max+1]3且当n>N时，-0K6成立，根据“-N”定义知就有！n2-3L8nlim0n- n?-3n!=0例9.用“ε-N”的方法证明limn"n!n!123n证明：V>0，要找N>0，当n>N时，有<8事实上只需nnn"nnnn<1. n"-11123n1n!"]+1，则当n>N时，有1K&即取N=<即n>n n"-lnnnnn8n"n!lim=0n-0n"总结：一般用数列极限的“-N”定义证明limx=a关键是找出正整数N，找N的过程如下（即证明过程）：s>0，要使|x-a，经过一系列的放大过程得|x,-ak..<p(n)<8解不等式(n)<6，可得n>()，取N=[(s)l则当n>N时总有x-a<ε成立，即limx,=a类型六利用函数极限的定义证明极限例10.用极限的定义证明下列极限2x+3_211)lim2)lim3x-32x-11→002x+32x+3-2x所2证明：1）V6>0，要证3X>0当x>X时，有<8只需33x3x1 x [22x+3_22x+3，取X=+1则>0，当xX时，有[x>-k即lim33x33x1二0810
第一章 函数与极限 分析：∀ε > 0找 N > 0，使当 n > N 时，有 − < ε − 0 | 3 | 2 n n ，即要使 < ε − − = − 3 0 | 3 | 2 2 n n n n ， 由于 n → ∞ ，故设 n > 3 ，即有 < ε − = − < − 1 1 3 2 2 n n n n n n 证明：不妨设 n > 3,∀ε > 0 取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = +1],3 1 max [ ε N 且 当 n > N 时 ， 就 有 − < ε − 0 | 3 | 2 n n 成 立 ，根据“ ε − N ”定义 知 0 3 lim 2 = →∞ n − n n 例 9．用“ε − N ”的方法证明 0 ! lim = →∞ n n n n 证明： ∀ε > 0 ，要找 N > 0 ，当 n > N 时，有 = = ⋅ ⋅ < ε n n n n n n n n n n n " ! 1 2 3 | ! | 事实上只需 ⋅ ⋅ < ⋅ = < ε − − n n n n n n n n n n n 1 2 3 1 1 1 1 " 即 ε 1 n > ，取 ] 1 1 = [ + ε N ，则当 n > N 时，有 |< ε ! | n n n 即 0 ! lim = →∞ n n n n 总结：一般用数列极限的“ε − N ”定义证明 x a lim n = 关键是找出正整数 N，找 N 的过程如下 （即证明过程）：∀ε > 0，要使| x − a |< ε n ，经过一系列的放大过程得| x − a |< < ϕ(n) < ε n " 解不等式ϕ(n) < ε ，可得 n >ψ(ε ) ，取 N = [ψ(ε )]则当 n > N 时总有| x − a |< ε n 成立，即 x a n n = →∞ lim 类型六 利用函数极限的定义证明极限 例 10．用极限的定义证明下列极限 1） 3 2 3 2 3 lim = + →∞ x x n 2） 1 2 1 1 lim = n→∞ x − 证明： 1）∀ε > 0，要证∃X > 0当| x |> X 时，有 − = + | 3 2 3 2 3 | x x = < ε + − | | 1 | 3 2 3 2 | x x x x 只需 ε 1 | x |> ，取 ] 1 1 = [ + ε X 则∀ε > 0，当| x |> X 时，有 − < ε + | 3 2 3 2 3 | x x 即 3 2 3 2 3 lim = + →∞ x x n 10
第一章函数与极限2(x- 1)-1k8，即要使k8不妨设0<x-1<（为什么？），则2）s>0，要使2x-142x-1312(x-，即[x-1k因此取8=min16<2x故只需使美则当221/244412(x-4|x-1ks恒成立，所以lim104x-1k8时|2x-12x-1→2x-1总结：利用函数极限的“ε-8”（或“ε-x"）定义证明：limf(x)=A（或limf(x)=A）的一般步骤如下：对于任给的6>0，由不等式lf(x)一A<6，经一系列适当放大可得[f(x)-Ak.<c|x-x（c为常数）[或lf(x)-Ak.….<cp(IxD)（c为常数）j解不等式cx-x[或c.(x<]，得|x-x。=[或|x()]，取==[或取正数cCx=(x)]，则当0x-xk时（或当|x>x时)，总有lf(x)-Ak即limf(x)=A[或lim f(x) = A注意：（2）中，为了放大不等式，也可以限制0<x-x。8，以便进行不等式的放大，将1f(x)-A|放大为c/x-x。p(x)，再由p(x)得|x-xk,，最后取=min(o,,)即可。但要注意这种限制必须按自变量x的变化过程来确定，不能随意限制。类型七证明极限不存在1当x→0时，极限不存在例11.证明函数f(x)=sin-x[解题提示]：只要能找到两个子列收敛于不同的极限即可1证明：取x，当x，→0,x，±0时，有f(x)=1，又取x，当2n元+元2n元2x，→0,x，0时，有f(x)=0故f(x)的极限不存在例12.证明f(x)=xsinx，当x→+oo时，无极限也非无穷大元证明：取x，=2n元+，当x，→+00时，有limf(x）=+0，又取x，=2n元，当x，→+00211
第一章 函数与极限 2）∀ε > 0，要使 − < ε − 1| 2 1 1 | x ，即要使 < ε − − | 2 1 2( 1) | x x 不妨设 4 1 0 < x −1 < （为什么？），则 2 3 2 1 2 1 < x − < 故 只 需 使 < ε − | 1/ 2 2( 1) | x ， 即 4 | 1| ε x − < 因 此 取 } 4 , 4 1 min{ ε δ = ，则当 0 <| x −1|< δ 时 < − < ε − − − = − | 4 | 1| 2 1 2( 1) 1| | 2 1 1 | x x x x 恒成立，所以 1 2 1 1 lim = n→∞ x − 总结：利用函数极限的“ε −δ ”（或“ε − x ”）定义证明： f x A（或 x x = → lim ( ) 0 f x A x = →∞ lim ( ) ） 的一般步骤如下：对于任给的 ε > 0 ，由不等式 | f (x) − A|< ε ，经一系列适当放大可得 | ( ) − |< < | − |< ε 0 f x A " c x x （c 为常数）[或| f (x) − A|<"< cϕ(| x |) （c 为常数）]解不等 式 | − |< ε 0 c x x [ 或 c ⋅ϕ(| x |) < ε ]，得 c x xo ε | − |< [ 或 | x |>ψ(ε ) ]，取 c ε δ = [或取正数 x =ψ(x) ]，则当0 <| x − x0 |< δ 时（或当| x |> x 时），总有| f (x) − A|< ε 即 f x A[或 x x = → lim ( ) 0 f x A x = →∞ lim ( ) 注意：（2）中，为了放大不等式，也可以限制 0 1 0 <| x − x |< δ ，以便进行不等式的放大，将 | f (x) − A| 放大为 | | ( ) 0 c x − x = ϕ x ，再由ϕ(x) 得 0 2 | x − x |< δ ，最后取 min{ , } δ = δ 1 δ 2 即可。 但要注意这种限制必须按自变量 x 的变化过程来确定，不能随意限制。 类型七 证明极限不存在 例 11．证明函数 x f x 1 ( ) = sin ，当 x → 0时，极限不存在 [解题提示]：只要能找到两个子列收敛于不同的极限即可 证 明 ： 取 2 2 1 π π + = n xn ， 当 → 0, ≠ 0 n n x x 时，有 ( ) = 1 n f x ，又取 nπ xn 2 1 = ， 当 xn → 0, xn ≠ 0 时，有 f (xn ) = 0 故 f (x) 的极限不存在 例 12．证明 f (x) = xsin x ，当 x → +∞时，无极限也非无穷大 证明： 取 2 2 π xn = nπ + ，当 xn → +∞时，有 = +∞，又取 →+∞ lim ( ) n x f x n xn = 2nπ ，当 xn → +∞ 11
第一章函数与极限时，有limf(x）=0，故当x→+oo时，f(x)无极限也非无穷大类型八求极限+22例 13. 求(1) lim(4x2-3)(3x-2)41(2) lim((6x2 + 7)5nX→n32(4_)"(3-43.34.2x解：1）原式=lim6531(6 +x总结：一般的，有当m>n时80lim amx" +am-14"-++..+ax+ao(a.,b.0)=am当m=n时bmb,x" +bu-x"-l +..+b,x+bo→10当m<n时注意上式中的极限过程只对x→80.x→土0成立，但当x趋于有限值时，此方法不再适用(1,22n?1 n(n+1)(2n+1)n(n+1)(2n+1) 1lim-)=lim2)lim(h3+1-n36n366x-→ n3nX>00注意：上式中当x一→0时，每一项均为无穷小，但无限项无穷小的和却不是无穷小例14.求下列函数极限x?+px+x?+...+x"-nP1) lim2) lim（p>0,q>0,p,q为常数）x-1x→1Jx+q-q(x-1)+(x2 -1)+...+(x" -1)解：1）原式=lim→x-11-lim[1+(x+1)+...+(x"- +x"-2 +...+x+1)=1+2+...+ n=-n(n+ 1)2(/x2 + p? - p)(/x2 +q2 +q)(/x?+p2 +p)2）原式=lim(/x?+g2-g)(x2+g2+g)(/x2+p2+p)x(/x? +q +q)x+q +q_!lin-lim-0x(x?+p +p)x/x?+p?+pp0总结：本题两例均是，型的极限，1）的方法是对分子、分母进行合理的因式分解，消去产生奇0异的因子，剩下部分代入数值计算即可。2）的特点是分子或分母有公因式，出现分母为零或分子为8的情况，处理方法是将分子或分母或分子、分母同时有理化，消去产生奇异的部分，然后再求极限12
第一章 函数与极限 时，有 lim ( ) = 0，故当 →+∞ n x f x n x → +∞时， f (x) 无极限也非无穷大 类型八 求极限 例 13．求（1） 2 5 2 3 4 (6 7) (4 3) (3 2) lim + − − →∞ x x x x ，（2） ) 1 2 lim( 3 2 3 2 3 n n x n n + + + →∞ " 解： 1）原式= 3 2 6 4 3 ) 7 (6 ) 2 ) (3 3 (4 lim 5 3 4 5 2 3 4 2 = ⋅ = + − − →∞ x x x x 总结：一般的，有 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < = ∞ > ≠ = + + + + + + + + − − − − →∞ 当 时 当 时 当 时 m n m n b a m n a b b x b x b x b a x a x a x a m m n m n n n n m m m m x 0 lim ( , 0) 1 0 1 1 1 0 1 1 " " 注意上式中的极限过程只对 x → ∞, x → ±∞ 成立，但当 x 趋于有限值时，此方法不再适用 2） ) 1 2 lim( 3 2 3 2 3 n n x n n + + + →∞ " = 6 1 ( 1)(2 1) lim 3 + + ⋅ →∞ n n n x n = 3 6 ( 1)(2 1) lim n n n n x + + →∞ = 6 1 注意：上式中当 x → ∞ 时，每一项均为无穷小，但无限项无穷小的和却不是无穷小 例 14．求下列函数极限 1） 1 lim 2 1 − + + + − → x x x x n n x " ，2） x q q x p p x + − + − → 2 2 2 2 0 lim （ p > 0,q > 0, p,q 为常数） 解： 1）原式= 1 ( 1) ( 1) ( 1) lim 2 1 − − + − + + − → x x x x n x " = lim[1 ( 1) ( 1) = 1 2 1 + + + + + + + + − − → x x x x n n x " " 1+ 2 +"+ n = ( 1) 2 1 n n + 2）原式= ( )( )( ) ( )( )( ) lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x q q x q q x p p x p p x q q x p p x + − + + + + + − + + + + → = ( ) ( ) lim 2 2 2 2 2 2 0 x x p p x x q q x + + + + → = x p p x q q x + + + + → 2 2 2 2 0 lim = p q 总结：本题两例均是 0 0 型的极限，1）的方法是对分子、分母进行合理的因式分解，消去产生奇 异的因子，剩下部分代入数值计算即可。2）的特点是分子或分母有公因式，出现分母为零或分 子为 的情况，处理方法是将分子或分母或分子、分母同时有理化，消去产生奇异的部分，然后 再求极限 ∞ 12