第一章函数与极限“-”定义定义2>08>0，使当0x-x8时，恒有f(x)-A，记为lim=A或f(x)→A（当x→x）左极限V>0，>0，使当x-x时，恒有f(x)-A，记为limf(x)=A或f(x)=A,右极限>0，8>0，使当xx<x+时，恒有f(x)-A，记为limf(x)=A或f(x)=A定理：lim f(x)=Af(x)=f(x)=A2.无穷小与无穷大无穷小：极限为零的变量称为无穷小，记作limf(x)=0（或limf(x)=0）无穷大：绝对值无限增大的变量称为无穷大，记作limf(x)=80（或limf(x)=.co）无穷小与无穷大的关系在同一个极限过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大无穷小的运算性质定理1在同一极限过程中，有限个无穷小的代数和仍为无穷小定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1在同一极限过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小推论2常数与无穷小的乘积是无穷小推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小3.极限的性质定理设limf(x)=A，limg(x)=B，则(1) lim[f(x)±g(x)= A±B(2) lim[f(x)·g(x)]= A·B(3 lim=，其中B0g(x)B推论1如果limf（x）存在，而c为常数，则lim[cf（x))=climf（x）推论2如果limf(x)存在，而n是正整数，则lim[f(x)}"=[limf(x)]"4．求极限的常用办法（1）用定义求之n
第一章 函数与极限 “ε −δ ”定义 定义 2 ∀ε > 0，∃δ > 0 ，使当0 <| x − x0 |< δ 时，恒有 f (x)− A < ε ，记为 或 （当 ） A x x = → 0 lim f (x) → A 0 x → x 左极限 ∀ε > 0，∃δ > 0 ，使当 0 0 x −δ < x < x 时，恒有| f (x) − A |< ε ，记为 f x A x x = → − lim ( ) 0 或 f (x0 − ) = A ， 右极限 ∀ε > 0，∃δ > 0 ，使当 x0 < x < x0 +δ 时，恒有| f (x) − A |< ε ，记为 f x A x x = → + lim ( ) 0 或 f x = A + ( ) 0 定理： f x A f x f x A x x = ⇔ = = + − → lim ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2．无穷小与无穷大 无穷小：极限为零的变量称为无穷小，记作 lim ( ) 0 0 = → f x x x （或lim ( ) = 0 →∞ f x x ） 无穷大：绝对值无限增大的变量称为无穷大，记作 = ∞ → lim ( ) 0 f x x x （或 = ∞ ） →∞ lim f (x) x 无穷小与无穷大的关系 在同一个极限过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 无穷小的运算性质 定理 1 在同一极限过程中，有限个无穷小的代数和仍为无穷小 定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论 1 在同一极限过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小 3．极限的性质 定理 设lim f (x) = A ，lim g(x) = B ，则 （1）lim[ f (x) ± g(x)] = A ± B （2）lim[ f (x)⋅ g(x)] = A⋅B （3） B A g x f x = ( ) ( ) lim ，其中 B ≠ 0 推论 1 如果lim f (x) 存在，而 c 为常数，则lim[cf (x)] = c lim f (x) 推论 2 如果lim f (x) 存在，而 n 是正整数，则 n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] 4．求极限的常用办法 （1）用定义求之 3
第一章函数与极限（2）利用极限的四则运算法则（3）利用无穷小的运算性质求之（4）利用左右极限求分段函数极限（5）利用极限存在的两个准则求极限（6）利用两个重要极限求极限（7）利用等价无穷小代换求极限（7）利用初等函数的连续性求极限5.判定极限存在的准则准则I如果当xeU（xo，）（或|xM）时，有(2)lim,g(x)= A,lim(1) g(x)≤f(x)≤h(x)h(x)=A1-→0(-X-0)(x-00lim则（夹逼准则）f(x)存在，且等于Ar-→0(x→)准则Ⅱ单调有界数列必有极限6.两个重要极限sinx=1(2)lim(1+=)*=e或lim(1+x)*=e(1) lim-→0 x1-x7.无穷小的比较定义：设α，β是同一极限过程中的两个无穷小，且α≠0a%=0，就说β是比α高阶的无穷小，记作β=0(α)（1）如果lim-ββ（2）如果lim=C（C0），就说β与α是同阶的无穷小αβ特殊的如果lim=1，则称β与α是等阶的无穷小，记作α～βαβ（3）如果lim-C(C+0,K>O），就说β是α的K阶无穷小at8.等价无穷小的性质巴存在，则limB=limB'定理（等价无穷小替换定理）：设α～~α,β~β且limαaα"a9.极限的性质(1)唯一性(2）有界性（3）保号性（4）函数极限与数列极限的关系（与数列极限和其子列的极限的关系类似）10.连续1.连续的定义定义1若limAy=0或lim[f(x。+△x)-f(x。）=0则称函数y=f(x)在点x连续4
第一章 函数与极限 （2）利用极限的四则运算法则 （3）利用无穷小的运算性质求之 （4）利用左右极限求分段函数极限 （5）利用极限存在的两个准则求极限 （6）利用两个重要极限求极限 （7）利用等价无穷小代换求极限 （7）利用初等函数的连续性求极限 5．判定极限存在的准则 准则Ⅰ 如果当 x∈U 0 (x0 ,γ )（或| x |> M ）时，有 （1） g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) （2） g x A x x x = → →∞ lim ( ) ( ) 0 ， h x A x x x = → →∞ lim ( ) ( ) 0 ) 则 lim ( )存在，且等于 A （夹逼准则） ( ) 0 0 f x x→x x→x 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 6．两个重要极限 （1） 1 sin lim 0 = → x x x （2） e x x x + = →∞ ) 1 lim(1 或 x e x x + = → 1 0 lim(1 ) 7．无穷小的比较 定义：设α ， β 是同一极限过程中的两个无穷小，且α ≠ 0 （1）如果lim = 0 β α ，就说 β 是比α 高阶的无穷小，记作 β = ο(α) （2）如果lim = C(C ≠ 0) α β ，就说 β 与α 是同阶的无穷小 特殊的如果lim =1 α β ，则称 β 与α 是等阶的无穷小，记作α ~ β （3）如果lim = C(C ≠ 0,K > 0) k α β ，就说 β 是α 的 K 阶无穷小 8．等价无穷小的性质 定理（等价无穷小替换定理）：设α ~ α',β ~ β '且 ' ' lim α β 存在，则 ' ' lim lim α β α β = 9．极限的性质 （1）唯一性 （2）有界性 （3）保号性 （4）函数极限与数列极限的关系（与数列极限和其子列的极限的关系类似） 10．连续 1.连续的定义 定义 1 若 lim 0 0 ∆ = ∆ → y x 或 lim[ ( ) ( )] 0 0 0 0 + ∆ − = ∆ → f x x f x x 则称函数 y = f (x) 在点 x0 连续 4
第一章函数与极限定义2若limf(x)=f(x。），则称函数y=f(x)在点x。连续定义3>0,3>0，当|x-x时，有f(x)-f(x)，则称函数=f(x)在点x连续1）单侧连续若函数f(x)在(a,x内有定义，且f(x）=f(x），则称f(x)在x。处左连续若函数f(x)在[xo,b)内有定义，且f(xt)=f(x。），则称f(x)在x。处右连续2）连续的充要条件定理f(x)在x处连续f(x)在x处既左连续又右连续3）间断点的定义函数f(x）在点x。处连续必须满足的三个条件：(1）f(x)在x。处有定义（2）limf(x)存在(3) lim f(x)=f(x)如果上述三个条件中只要一个不满足，则称函数f（x）在点x。处不连续（或间断），并称点x为f（x）的不连续点（或间断点）4）间断点的分类第一间断点[可去间断点((。)=(。)(。)。)存在)可跳跃间断点(()(）间断点第二间断点：无穷间断点，振荡间断点等(f(x。)f(x。至少有一个不存在)5）闭区间的连续性如果函数在开区间内（a,b）连续，并且在左端点x=a处右连续，在右端点x=b处左连续，则称函数f(x)在区间[a,b]上连续6)连续函数的运算性质f(x)定理1若函数f(x)，g(x)在点x处连续，则f(x)±g(x)，f(x)·g(x)，(g(x)±0)g(x)在点x。处也连续定理2严格单调的连续函数必有严格单调的反函数定理3若lim(x)=a，而函数f(x)在点a连续，则有limf[p(x))=f(a)=f(limp(x)5
第一章 函数与极限 定义 2 若 lim ( ) ( ) ，则称函数 0 o x x f x = f x → y = f (x) 在点 x0 连续 定义 3 ∀ε > 0,∃δ > 0 ，当| x − x0 |< δ 时，有| ( ) − ( )|< ε 0 f x f x ，则称函数 在点 连续 y = f (x) 0 x 1） 单侧连续 若函数 f (x) 在(a, x0 ]内有定义，且 f (x0 − ) = f (x0 ) ，则称 f (x) 在 x0 处左连续 若函数 f (x) 在[x0 ,b) 内有定义，且 f (x0 + ) = f (x0 ) ，则称 f (x) 在 x0 处右连续 2） 连续的充要条件 定理 f (x) 在 x0 处连续⇔ f (x) 在 x0 处既左连续又右连续 3） 间断点的定义 函数 f (x) 在点 x0 处连续必须满足的三个条件： （1） f (x) 在 x0 处有定义 （2） lim ( )存在 （3） 0 f x x→x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 如果上述三个条件中只要一个不满足，则称函数 在点 处不连续（或间断），并称点 为 的不连续点（或间断点） f (x) 0 x 0 x f (x) 4）间断点的分类 间断点 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = + − + − + − + − ( , ) : , ( ) ( ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 至少有一个不存在 第二间断点 无穷间断点 振荡间断点等 跳跃间断点 可去间断点 存在 第一间断点 f x f x f x f x f x f x f x f x 5） 闭区间的连续性 如果函数在开区间内（a,b）连续，并且在左端点 x=a 处右连续，在右端点 x=b 处左连续，则称函 数 f (x) 在区间[a,b]上连续 6） 连续函数的运算性质 定理 1 若函数 f (x) ，g(x) 在点 x0 处连续，则 f (x) ± g(x) ，f (x)⋅ g(x) ， ( ) ( ) g x f x （ g(x0 ) ≠ 0 ） 在点 x0 处也连续 定理 2 严格单调的连续函数必有严格单调的反函数 定理 3 若 x a x x = → lim ( ) 0 ϕ ，而函数 f (x) 在点 a 连续，则有 lim [ ( )] ( ) (lim ( )) 0 0 f x f a f x x x x x ϕ ϕ → → = = 5
第一章函数与极限定理4设函数u=p(x)在点x=x连续，且p(x)=uo，而函数y=f(u)在点u=u连续，则复合函数y=f[p(x)在点x=x也连续7）初等函数的连续性定理1基本初等函数在定义域内是连续的定理2一切初等函数在其定义区间内都是连续的8）闭区间上连续函数的性质定理1（最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界定理3（零点定理）设函数f(x）在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)·f(b)<0）那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点(α<<b),使f()=0定理4（介值定理）设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a.b）内至少有一点，使得 f()=c(a<<b)推论在区间上连续的函数必取得介于最大值M和最小值m之间的任何值三．例题分析1.函数的定义和性质类型一函数相等的判断例1．判断下列函数是否相等，如不等，为什么？In1-x(1) f(x)=ln1-g(t)= In( -x)-(+x)(2) f(x)= x,g(x)= Vx2解题提示]：当且仅当给定的两个函数，其定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数，否则就是两个不同的函数解：（1）由于f(x)和g(x)的定义域均为（-1，1）且对应法则也相同，故f(x)=g(x)(2)由于f(x)=x，而g(x)=V=xl，故两者的对应法则不同，所以f(x)±g(x)类型二求函数的定义域例2.设y=f(x)的定义域是[0，1]，求（1）y=f(sgnx），其中sgnx为符号函数。即[1 x>0sgnx= 0x=0-1x<06
第一章 函数与极限 定理 4 设函数u = ϕ(x) 在点 x = x0 连续，且 0 0 ϕ(x ) = u ，而函数 y = f (u) 在点 连续，则 复合函数 u = u0 y = f [ϕ(x)] 在点 x = x0 也连续 7） 初等函数的连续性 定理 1 基本初等函数在定义域内是连续的 定理 2 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 8） 闭区间上连续函数的性质 定理 1（最大值最小值定理） 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值 定理 2（有界性定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 定理 3（零点定理）设函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续，且 f (a) 与 f (b) 异号（即 f (a)⋅ f (b) < 0）， 那么在开区间（a,b）内至少有函数 f (x) 的一个零点，即至少有一点ξ(a < ξ < b),使 f (ξ ) = 0 定理 4（介值定理）设函数 在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 及 f (x) f (a) = A f (b) = B ，那么对于 A 与 B 之间的任意一个数 C，在开区间（a,b）内至少有一点ξ ， 使得 f (ξ ) = c(a < ξ < b) 推论 在区间上连续的函数必取得介于最大值 M 和最小值 m 之间的任何值 三．例题分析 1．函数的定义和性质 类型一 函数相等的判断 例 1．判断下列函数是否相等，如不等，为什么？ （1） , ( ) ln(1 ) (1 ) 1 1 ( ) ln g x x x x x f x = − − + + − = （2） 2 f (x) = x, g(x) = x [解题提示]：当且仅当给定的两个函数，其定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数，否 则就是两个不同的函数 解： （1）由于 f (x) 和 g(x) 的定义域均为（-1，1）且对应法则也相同，故 f (x) = g(x) （2）由于 f (x) = x ，而 ( ) | | 2 g x = x = x ，故两者的对应法则不同，所以 f (x) ≠ g(x) 类型二 求函数的定义域 例 2．设 y = f (x)的定义域是[0，1]，求 （1） y = f (sgn x) ，其中 sgn x 为符号函数。即 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < = > = 1 0 0 0 1 0 sgn x x x x 6
第一章函数与极限(2）y=f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域[解题提示]：求复合函数的定义域，要注意内层函数的值域必须包含在外层函数的定义域内解：（1）易知当x≥0时，sgnx的值域包含在[0，1]，故y=f(sgnx)的定义域为[0,+o)(2）函数f(x+a)的定义域由不等式0≤x+a≤1解得-a≤x≤l-a，函数f(x-a)的定义域由不等式0≤x-a≤1解得a≤x≤a+111则a<≤1-a，函数f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域为[a,l-a];若0<a≤211若a>则1-a<，函数f(x+a)+f(x-a）(a>O)的定义域为为空集22类型三求复合函数和反函数x?[≤|≤1例3. 设f(x)=国>1’g(x)=lnx，求复合函数的解析式x2f(g(x)和g(f(x)[解题提示]：求复合函数一般采用代入法，即把一个函数的表达式代替另一个函数中的自变量解：先研究g(x)=lnx的值域与定义域的关系当x>e时，lnx>l：当0<x<e-时，lnx<-l；当e-l<x<e时-l<lnx<1故[In’ x[In x <1f(g(x)= f(lnx)=1[In x| >1linxIn? xe-l <x<e即：f(g(x)1x>e或0<x<e-[in’ xInx20<|Inx≤1同理可得g(f(x))=lnf(x)：-Inx?[In x >1-2<x<1xx2例4. 求f(x)=1≤x≤2的反函数12<x≤4linx[解题提示]：求反函数的一般步骤为（1）把x从方程y=f（x)中解出；（2）把第一步所得表达式中的x与y对换，即得反函数解：求分段函数的反函数，只要分别求出个区间段的反函数及定义域即可7
第一章 函数与极限 （2） y = f (x + a) + f (x − a) (a > 0) 的定义域 [解题提示]：求复合函数的定义域，要注意内层函数的值域必须包含在外层函数的定义域内 解： （1）易知当 x ≥ 0时，sgn x 的值域包含在[0，1]，故 y = f (sgn x) 的定义域为[0,+∞) （2）函数 f (x + a) 的定义域由不等式0 ≤ x + a ≤ 1解得 − a ≤ x ≤ 1− a ，函数 的定义 域由不等式 解得 f (x − a) 0 ≤ x − a ≤ 1 a ≤ x ≤ a +1 若 2 1 0 < a ≤ ，则 a < ≤ 1− a 2 1 ，函数 f (x + a) + f (x − a) (a > 0) 的定义域为[a,1− a]； 若 2 1 a > ，则 2 1 1− a < ，函数 f (x + a) + f (x − a) (a > 0) 的定义域为为空集 类型三 求复合函数和反函数 例 3．设 ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ = 1 1 1 2 2 x x x x f x ， g(x) = ln x ，求复合函数的解析式 f (g(x)) 和 g( f (x)) [解题提示]：求复合函数一般采用代入法，即把一个函数的表达式代替另一个函数中的自变量 解： 先研究 g(x) = ln x 的值域与定义域的关系 当 x > e 时，ln x > 1；当 时， 1 0 − < x < e ln x < −1；当e < x < e 时 −1 −1 < ln x <1故 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > < = = ln 1 ln 1 ln ln 1 ( ( )) (ln ) 2 2 x x x x f g x f x 即： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > < < < < = − − 1 2 2 1 0 ln 1 ln ( ( )) x e x e x x e x e f g x 或 同理可得 ⎩ ⎨ ⎧ − > < ≤ = = ln ln 1 ln 0 ln 1 ( ( )) ln ( ) 2 2 x x x x g f x f x 例 4．求 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < ≤ ≤ ≤ − < < = 2 4 ln 1 1 2 2 1 ( ) 2 2 x x x x x x f x 的反函数 [解题提示]：求反函数的一般步骤为（1）把 x 从方程 y = f (x)中解出；（2）把第一步所得表达式 中的 x 与 y 对换，即得反函数 解： 求分段函数的反函数，只要分别求出个区间段的反函数及定义域即可 7