5.1.2大数定律 首先引入随机变量序列相互独立的概念。 定义1：设X,X2,.是一随机变量序列。 如果对任意的n>1,X,X2,Xn相互独立， 则称X,X,.相互独立。 @@的
5.1.2 大数定律 首先引入随机变量序列相互独立的概念。 定义1：设 X1 , X2 , .是一随机变量序列。 如果对任意的 n>1， X1 , X2 , ., Xn相互独立, 则称X1 , X2 , .相互独立
几个常见的大数定律 定理2（切比雪夫大数定律）：设随机变量 序列X,X2,.相互独立，且有相同的期望和 方差：EX)=4,VarX)=o2,i-1,2,.。 则对任意的>0，有 lim PX,-u<a=1, (1） 其中又=∑X
几个常见的大数定律 定理2 (切比雪夫大数定律): . 1 lim 1, (1) 1 = → = − = n k n k n n X n X P X 其中 设随机变量 序列 X1 , X2 , . 相互独立，且有相同的期望和 方差: E(Xi )=μ, Var(Xi ) =σ 2 ，i=1, 2, . 。 则对任意的ε>0，有
证明： E)=12EX)=, n k=1 Var(X,)=Var(X)- 对，使用切比雪夫不等式，得到 PR,-4<}21- n 令no,并注意到概率小于等于1，得(1)式。 定理证毕。 @@函
证明： Var( ) . 1 Var( ) ( ) 1 ( ) 2 1 2 1 n X n X E X n E X n k n k n k n k = = = = = = ， 对 Xn 使用切比雪夫不等式， 得到 1 , 2 n P Xn − − 令 n→∞，并注意到概率小于等于1，得(1)式。 定理证毕
该大数定律表明：无论正数ε怎样小，只 要n充分大，事件{区，∈(u-6,u+)}发生 的概率均可任意地接近于1。 即当n充分大时，差不多不再是随机 变量，取值接近于其数学期望4的概率接近 于1。 在概率论中，将1)式所表示的收敛性称 为随机变量序列X,X,X,.依概率收敛 于4，记为Xn”→4
该大数定律表明：无论正数ε 怎样小, 只 要 n充分大，事件 发生 的概率均可任意地接近于 1。 Xn ( −, + ) 即当 n充分大时， 差不多不再是随机 变量， 取值接近于其数学期望μ的概率接近 于 1。 Xn 在概率论中，将(1) 式所表示的收敛性称 为随机变量序列 依概率收敛 于μ ，记为 。 X1 , X2 , , Xn , ⎯→ . P Xn
下面再给出定理2的一种特例 贝努里大数定律。 设n,是n重贝努里试验中事件 A发生的频数，p是每次试验中A发 生的概率。 雅各布第一·伯努利 1,第i次试验A发生， 0,第：次试验4不发生 i=1,2,.,n 则n4= 丝=∑X是次试验中A发生的频率 n i=l
下面再给出定理2的一种特例—— 贝努里大数定律。 设nA 是n重贝努里试验中事件 A发生的频数，p是每次试验中A发 生的概率。 1 2 . , 第 次试 不 生, 1, 第 次试 发生, i , , ,n i A i A X i = = 验 发 验 0 引入 , 1 = = n i A Xi 则 n X 是n次试验中A发生的频率。 n n n n i i A 1 1 = =