第一讲早期的术与几何 指数方程: L2=2 解的结果x为4年减去(2+8+器)月.古巴比伦人的数学水平,不能不令人赞叹 3.泥板上的几何 泥板上已经出现了各种儿何问题,从中可以看出 古巴比伦的几何已经达到了较高的水平 √2的计算 在勾股定理和勾股数的计算与研究方面,巴比伦 人的成就遥遥领先于其他三个文明古国.泥板数学中 有许多涉及到勾股定理应用的问题.特别是在一块公 元前1700年左右的圆饼状泥板上,刻有一个正方形, 并画出了对角线.对角线上写了一行数字,即1,24, 泥板上的几何图形 51,10,化为10进小数就是 24;5110 1+60602603÷1.41421296… 显然,这就是2的近似值,与真值的差不超过6×10-7,正是按勾股定理推算出来的 单位正方形对角线的长 在古印度也有对√2的记载.《测绳的法规》给出了2=1.41421568…,误差是 2.1×10-6,比泥板上√2的近似值的误差大得多,并且时间已经晚了一千多年 勾股数 纽约哥伦比亚大学的珍本图书馆藏有一块年代为 公元前1900前1600的泥板,称为普林顿322号数 学泥板.泥板上用楔形文刻有4列数字,共15行 最初人们以为是一种普通的商业账单,没有引起太多 的注意.后来经过研究才发现,这竟然是一个勾股数 表.所谓勾股数,就是满足不定方程 a2+b2= 昔林顿322号数学泥板 的正整数组(a,b,c),也叫毕达哥拉斯三元数组 巴比伦最令人吃惊的数学成就,就是在很古老的年代就给出了大量的、数目巨大的勾股 数普林顿322泥板还有许多未解之谜等着人们去研究 巴比伦数学在某些方面取得了惊人的成就,最突出的是勾股定理和勾股数,领先于其 他国家千年以上.还有二次方程、复利问题及位值制记数法的思想都是领先于时代的,但 60进制却不是很理想的进位制度 总的来说,古巴比伦的数学与古埃及的数学一样,主要是解决各类具体问题的实用知 识,处于原始算法积累时期.尽管在古埃及的纸草书和巴比伦的泥板上都有求儿何图形面
CHAPTER 通爲中课程标实验教科书数学(选修31 积的问题,但本质上都是算术的应用,几何学作为独立的学科还不存在.数学的进一步的 飞跃要等待古希腊来完成 丰富多彩的记数制度 我们现在普遍使用的0.1,2,…,9称作阿拉伯数码,任何一个数字都可以用这10 个数码来表示.当数字大于9时,无需创造新的数码,只要在表示十位的地方写1,在表 示个位的地方写0就可以了,这样就写出了数字10.由此可以看出,上述十个阿拉伯数码 放在不同的数位上,它所表示的意义是不一样的.拿1为例,放在个位表示1,放在十位 表示10,放在百位表示100…这样的记数制度叫做“十进位值制 用十进位值制记数法非常方便,写出的数字简洁明了.古代的先民采用十进可能与人 有10个手指有关.十进位值制包含两个要素:一个是十进,一个是位值,两者缺一不可 在这两个要素中,位值的思想比进位的思想更具实际意义 1中国古代的算筹记数 中国古代用算筹来进行计算,而中国古代的算 筹记数法就是现代的十进位值制.算筹的功用和后 世的算盘珠大致相仿,5以下的数码是几就用几根算 筹表示,6、7、8、9四个数码用一根放在上面,余 下的数,每根算筹表示1.算筹是将几寸长的小竹棍 (或用木、玉、金属制造)摆在平面上进行运算,算 筹的摆放形式有纵横两种方式,如图1-4.那么,算 筹的摆放形式为什么采用纵横两种方式呢? 西汉象牙算筹 ‖‖ T I II 纵式 ⊥⊥上 横式 图1-4中国古代的算筹数码 表示一个多位数时,像现在用阿拉伯数码记数一样,把各位的数码从左到右横着排 列.但各位数码的筹式需要纵横相间,个位数用纵式表示,十位数用横式表示,百位、万 位用纵式,千位,十万位用横式…例如6614用算筹表示出来就是⊥T一Ⅲ:数字有空 位时,如86021用算筹表示就m⊥=1,百位上是空位不放算筹,又如10340用算筹 表示出来就是|Ⅲ≡、千位和个位都不放算筹.因为布置算筹需要纵横相间,这个数 8
第一讲早期8源术与几何 第一拼 字有没有空位是很容易辨别的.《孙子算经》中清晰地记载了算筹的纵横相问制“一纵十 橫百立千僵.千、十相望,万、百相当.满六以上,五在上方.六不积算,五不单张” 算筹记数的纵橫相间制传到宋元时期都没有改变 算筹记数是中国古人在生产实践中创造出来的一种方法.用极简单的算筹,纵横布 置,就可以表示任何自然数(和小数).虽然没有表示空位的符号,但确实能够实行位值 制记数法,为加减乘除等运算建立起良好的条件.算筹记数方法除了数码形式不同之外 和现在的十进位值制并无两样.我国古代数学在数字计算方面有辉煌的成就,应当归功于 遵循十进位值制的算筹记数法 算筹作为计算的工具,它的起源很早,大约可以上溯到公元前5世纪,有证据足以说 明,春秋末期以前,人们早已利用算筹来计算了,后来写在纸上变成为算筹记数法.在纸 上为了明确起见,用O表示空位,这就是中国的零号.正是由于古代中国人使用算筹非常 普遍,所以留下了后世的名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,而从事数学研究的人在 古代则被称作“筹人 2.印度一阿拉伯数码 现在国际通用的数码常称为阿拉伯数码,这是历史遗留下来的不确切名称,其实叫做 印度一阿拉伯数码更为恰当.这种数码采用十进位值制,它的演变,有一段漫长而复杂的 历史 印度一阿拉伯数码最早可以上溯到婆罗米文字,这种文字形成于公元前7,8世纪, 是印度文字的祖先.婆罗米数字在分类上属于分级符号制,以后逐渐向位值制发展.大约 在公元前600年已过渡到位值制记数法.最初用空一格表示零,后来用小点表示,完成位 值制必须有零号,根据目前掌握的史料,印度最早的确凿无疑的零号“0”出现在瓜廖尔 地方的一块石碑上年代是公元876年 公元773年,印度数码开始传入阿拉伯国家.由于当时没有印刷术,数码全凭手写 字体因人因地而异,变化很大.东西阿拉伯的写法就很不相同.西部较接近现代的写法 但没有零号.东部字体逐渐固定下来,至今许多伊斯兰国家仍在使用.有人顾名思义,认 为“阿拉伯数码”就是阿拉伯人创造的数码,这是误解. 13世纪,欧洲的著名数学家斐波那契(1. Fibonacci.1170-1250)写了一本书.名 为《算盘书》,这是第一部向欧洲人介绍印度数码的著作,这本书的一开头就写到:“这是 印度的九个数码: 987654321, 还有一个阿拉伯人称之为零的符号0,这样任何数都可以表示出来.” 从那时起,又经过数百年的改进,到16世纪,终于形成了当今国际通用的数码.在 欧洲人的印象中,这些数码来自阿拉伯国家·所以称之为阿拉伯数码,这个名称就这样沿 用下来 在古代,一些国家或地区采用了位值制但不是十进的记数法,也有些地区使用十进的 记数法,但却不是位值的.而中国的算筹记数法却是最早的既是十进制又是位值制的记数
CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数学(选修J1) 方法,这是我国古代数学的一大创造 3.其他记数制度 历史上,在不同的时代,不同的地域,不同的文化中产生的记数制度可以说五花八 「,不一而足.除了上述的十进位值制记数制度外,主要还有如下的几种 简单累数制 这种制度的特点是每一个较高的单位,都用一种新的符号来 表示,比如古埃及象形文中的数字;在巴比伦楔形文中,60以 下的数采用的也是简单累数制 另外,12世纪以前盛行欧洲的罗马数码采用的也是简单累 数制,现在某些场合还在使用,如书本的卷数,章节的序号,正 文前的页码,老式的钟表盘(图1-5)等.罗马数字用大写的拉图15罗马街头的钟 丁字母(有时也用小写)表示数目: I VX L C D M 0 501005001000 一个简单的数要写成长长的一串,如 3888= MMMDXCCLXXXVIII 从左向右书写,单位从大到小排列.但如果较小的单位写在较大单位之左,要用“减法原 则”.如:ⅣV=5-1=4,ⅨX=10-1=9等.这个原则在历史上时兴时废,直到中世纪还 未固定下来,有时ⅣV也写成Ⅲ.一般只允许减去一个单位,但古代并不完全遵守这 原则 分级符号制 和简单累数制比起来,分级符号制不但对每一个较高的单位都要另立符号,而且对较 高单位的倍数也要设新符号 古埃及僧侣文中的数码就属于十进的分级符号制 23456789 除了1,2,…9各有符号表示外,10,20.…,90 A亠气叫1墨以及10,20.…,90等等都有特殊符号表示,如图 102030405060708090 1-6. 使用这种记数制度需要记住很多符号,这是缺点, 图1-6 但写起来很紧凑,如4997写作吗乡墨已,其中前两 个符号分别表示4000和900.由于这样的特殊符号毕 竟是有限的,所以在表示太大的数字时,这种记数制度就无能为力了 古希腊的字母记数法,犹太民族的希伯来字母记数法以及阿拉伯字母记数法都属于分 级符号制 乘法累数制 简单累数制也可叫做加法累数制,原理是将各个数码所表示的数加起来.600要把 100重复写6次,这是很麻烦的.乘法累数制是将重复书写改用乘法表示,最具代表性的 10
第一讲早期的算术与几何 第一拂 是中国数字,如4600不必写成“千千千千百百百百百百”,也不用另造表示4000与600 的新字,而是写成“四千六百”,这是多么聪明的办法! 中国自古以来便使用十进的乘法累数制,仅用13个数字 三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万,就 可以表示相当大的数.如:214557可以写作二十一万四千五百 五十七 这13个数字在甲骨文中就已经出现(图1-7),大于10的 自然数都是用十进位制,只是写法有所不同 三三x介( 二三四五六七八九十百千万 带数字的甲骨 图17 万以上的数,后来又增加了一些新字,以表示更大的单位.如《数术记遗》中提出 亿、兆、京、垓等10种名称,但有三种不同的进位法.进位法不统一,很容易弄错,现 在只剩下“万万为亿”还在使用,亿以上不再另定新名.不过在自然科学中还保留“百万 为兆”的用法,比如,无线电频率中有兆赫,电子计算机中有多少兆内存等 进位制 巴比伦的记数制是60进的,现在的小时、分、秒仍然在沿用这种进位制度.巴比伦 的记数法不是纯粹的位值制,而是和简单累数制混在一起的.60以下的数用简单累数制, 60以上则是位值制和简单累数制的混合 古代的中美洲有两个文化中心:一个是南美洲的印加,广泛地使用结绳记数,另一个 是中美洲的玛雅.玛雅人用一种特殊的数字表示时间,图18中的19个符号相当于1~19 的数字,这是一些神的头像.如5是玉米神,10是死神等.但在计算其他事物时又采用另 一套数码,和巴比伦的记数法有相似之处,20以下采用5进的简单累数制,20以上采用 位值制.在一般的计算中,他们采用严格的20进位值制 囫國圜盈圈 6 7 8 豳娜繈酚醫 1213141516171819 图1-8玛雅数字 除了上面的这些进位制外,还有许多别的进位制.比如英国的12进制,12个为一打 电子计算机中使用的是二进制,只要用0和1两个数码就可以表示任何数,因为计算机中