CHAPTER 通高中课程标准买验教科书数学(选修3D 的电器元件只有“开”和“关”两种状态;中国古代还使用16两为1斤.时至今日还在 某些行业中使用,如称量中药就用16进制.“半斤八两”就是由16进制而来的 你认为数字符号、记数制的发展对数学发展有怎样的重要作用?请你结 合本讲的学习谈谈体会, 12
Cnemiscilmgpsuo d. moat hvb xYloside fite Tanmudanccntequdect abma puto s ahu bt cnlimacottr Itcterrramuarco uag viru:ovErc puma dichuphicicnr qlogndusEs lan cmdinetms byo tmmi suide fut lce 空 mpfcs plau t ab waling Is arterio i cumnitatce faad ramie a2nsolngplanm 第二饼 torneo Picanesgusno directa de 古希腊数学 IyI necreuoarandil acrobat fumit calos ce: smcrostccrnir 古希腊处在欧洲逦往亚洲的咽喉要道上·优越的地理位置、宜人的地中海式气候造就 了古希腊发达的航海业、农业和手工业.公元前8世纪前后,古希腊进入奴隶社会,科 学、文化和生产力得到极大发展,产生了许多奴隶制城邦,这些城邦虽然相互独立,但具 有相同的文化、习俗和宗教信仰. 公元6世纪,这些城邦逐步形成以雅典为中心的古希腊,从此出现了欧洲文明的第一 次高潮,尤其是数学达到了空前的繁荣.通常,我们将古希腊在公元前600到600年所发 展起来的数学称为“希腊数学” 希腊数学的先行者 希腊数学先后出现过许多数学学派,其中最早的一个学派叫做 伊奥尼亚●学派,其创始人为泰勒斯( Thales,约公元前625约 0伊奥尼亚 ( lonia)位于小 前547),他是现在所知的古希腊最早的数学家、哲学家,是古希腊 壘帼亚(今属土 数学的先行者 耳其)西岸中 泰勒斯曾游历过巴比伦、埃及等地,学到部,包括发琴海 那里的数学和天文学知识,晚年则转向哲学 东部诸岛,公元 前1200年到前 泰勒斯几乎涉猎了当时人类的全部思想和活动10年同,希謄 领域,享有崇高声誉,被尊为“希腊七贤”部落伊奥尼垂人 之首 迁移于此,因而 得名 关于泰勒斯的传说很多,其中最脍炙人口 的事迹是预报了发生于公元585年的一次日 泰勒斯像 食,并因此消弭了一场鏖战经年的战争.泰勒斯另一项令人津津乐 道的业绩是他在埃及时,测定了金字塔的塔高 泰勒斯在数学方面划时代的、影响最深远的责献是引入命题证明的思想.命题的证 明、就是借助一些公理或真实性业已确定的命题来论证某一命题真实性的思想过程它标 志着人类对客观事物的认识已经从实践上升到理论.这是数学史上一次不寻常的飞跃正 是因为有了逻辑证明,数学命题的正确性得到保证,数学理论才能立于不败之地;数学定 理之间的关系得到揭示,数学的结构体系才能建立,数学的进一步发展才有基础.从泰勒
CHAPTER 新通离中课星标准实验教科书数学(选修31 斯开始,命题证明成为希腊数学的基本精神. 毕达哥拉斯学派 伊奥尼亚学派之后,毕达哥拉斯学派兴起.这个学派存在了两个世纪之久,对人类文 明的影响非常深远 I1毕达哥拉斯 毕达哥拉斯学派的创始人是希腊论证数学的另一位祖师毕达哥拉 斯( Pythagoras,约公元前560前480),他与我国的孔子(公元前 55前479)处于同一时代.与泰勒斯类似,毕达哥拉斯也没有著作 传世,身世也是充满迷团.通过一些间接的历史资料,我们对他的情 况有一些基本的了解 毕达哥拉斯曾师从伊奥尼亚学派的学者,以后游历埃及、巴比伦 等地(也有记载说他到过印度),接受古代流传下来的天文、数学知华达新拉斯像 识·回到家乡以后开始讲学.公元前520年左右,为了摆脱暴政,毕 达哥拉斯背井离乡,移居西西里岛,最后定居意大利半岛东南沿海的克罗托内.在那里广 收门徒,建立了一个宗教、政治,学术合一的秘密团体,也就是毕达哥拉斯学派。他的讲 学吸引了大批的听众,包括各个阶层特别是社会上层人士 毕达哥拉斯将信徒们分成两等.一种是普通听讲者,这是大多数,他们只能听讲,不 能参加讨论.高深的知识是不向他们传授的另一种才是真正的学派成员,叫做 panatκo,这个词的原意是指那些获得较高深知识的人,以后演化为 poonnzatLKa,这就 是欢洲文字“数学”(拉丁文 mathematica.英文 mathematics,德文 mathematik)一词的 来源.除数学外,毕达哥拉斯学派还致力于哲学研究 虽然泰勒斯沿着论证数学的方向迈出了第一步.但后人主要将数学中这一新方向的成 长归功于毕达哥拉斯学派.毕达哥拉斯继泰勒斯之后,将这门科学改造为自由的教育形 式.首先检验其原理,并用一种无形和理智的方式探讨其定理 毕达哥拉斯本人没有留下什么著作,而学派内部的发明创造是秘而不宣的,所以鲜为 人知,不过也有少数信息通过各种途径流传开来,以后组织逐渐分散,保密的教条被摒 乔·才出现了公开讲述这个学派教义的著作,此后,许多学者开始了对毕达哥拉斯的研究 工作,他的思想和学说逐渐变得厂为人知 2.勾股定理与勾股形数 西方的文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理,因为大家都相信这是毕达哥拉斯 发现的,并给出了某种证明,后来被欧几里得编入《原本》之中,他是如何发现的,又是 114
第二饼古腊数学 第二坪 用什么方法证明的?这一点,后人作了很多合乎情理的推测 毕达哥拉斯学派曾经研究过铺地砖问题.像图2-1那样用 等腰直角三角形地砖来铺地是常见的.不难看出,△ABC的 直角边上的两个正方形合起来恰好是斜边上的正方形.受此启 发,自然会推想对于非等腰直角三角形这个关系,即 c2=a2+b2 也成立.毕达哥拉斯的证明方法现在已不可考,后人对他的证 明只能进行一些合理的推测.但不论哪种推测,人们对其都是 半信半疑,众说纷纭 图2 勾股定理可能是所有数学定理中证法最多的.卢米斯 (E. S. loomis)的《毕达哥拉斯命题》一书中载有367种证法,实际的数目还不止这些 证明了勾股定理后,自然会想:满足什么关系的三个数可以构成一个直角三角形?也 就是,怎样的三个数能够满足不定方程 +y2= 毕达哥拉斯发现,2n+1和2n2+2n为直角边,2n2+2n+1为斜边满足上面的不定方程 满足不定方程x2+y2=x2的正整数组,现在叫做“毕达哥拉斯数”,也叫做“毕达哥拉斯 三元数组”或简称“勾股数”但上面这一组解并非方程x2+y2=x2的全部解,它只是斜 边与一条直角边的差是1的情形 3.多边形数 毕达哥拉斯学派有一个基本信条—万物皆数.这个学派晚期的一位成员费洛罗斯 ( philolaus,约卒于公元前390年)曾宣称:“人们所知道的一切事物都包含数,因此,没 有数就既不可能表达、也不可能理解任何事物.” 毕达哥拉斯学派所说的数仅指正整数,分数被看作两个整数的比,他们认为数1生成 所有的数、每个数都被赋予了特定的属性,而在一切数中最神圣的是10.也就是说毕达哥 拉斯学派信奉和崇拜数10,将10看作完美、和谐的标志毕达哥拉斯学派对整数进行了 深入研究,尤其注意形与数的关系.“多边形数”也称“形数”,就是形与数的结合物.用 点排成的图形如图22. y (1 (2) 图22多边形数 其中图(1)的点数叫做三角形数,从上至下,第一个三角形数是1.第二个三角 形数是1+2=3.第三个三角形数是1+2+3=6…第n个三角形数是1+2+…+n= 15
CHAPTER 通高中课程标栓实验教科书数学(修31 ”).据信,毕达哥拉斯已知道这个公式 同样,图(2)的点数1.4.9,16,…,n,…叫做正方形数.正方形数可以看作从 起连续奇数之和,如 1+3+5+7+9+11=62 一般地,作出正方形数n的图形后,再镶上一个曲尺形的、点数为2n+1的边,就得 到 n2+(2n+1)-(n+1) 类似地,可用点排出正五边形数、正六边形数,等等,正五边形数和正六边形数分别 由序列 N=1+4+7+…(3n-2)n(3n-1) N=1+5+9+…+(n-3)=2x2-n 得到,这是一些高阶等差数列.类似地,用同样的方式可以定义所有的多边形数.这一过 程还可以推广到三维空间去构造多面体数.“形数”体现了数与形的结合 毕达哥拉斯学派对数字的研究加强『数概念中的理论倾向,如果说埃及与巴比伦算术 E要是实用的数计算技巧,那么毕达哥拉斯学派的算术则更多地体现出某种初等数论的 萌痄,这是向理论数学过渡时观念上的飞跃.并且由于数形结合的观点,这种飞跃实质上 推动了几何学的抽象化倾向 4.不可公度 毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,而数就是正整数,分数肴作整数的比.除此之外, 他们不认识,也不承认有别的数.毕达哥拉斯学派相信,任何量都可以表示成两个整数之 比.在几何上这相当于说:对于任意给定的两条线段,总能找到第三条线段,以它为单位 即公度)线段能将给定的两条线段划分为整数段,希腊人称这样给定的两条线段为“可 公度量”.意思是有公共的度量单位. 然而,毕达哥拉斯学派后来却发现,并不是任意两条线段都是可公度的.例如,正方 形的对角线与其一边就不能构成可公度线段,对这一事实的证明最早出现在阿基米德的著 作中 根据勾股定理.若正方形的对角线与其一边之比为a:R(a,P互素),则有a2=22 这咀吖为偶数·所以a也必为偶数.不妨设a=2.于是a=4p=232,即2=2p,则P 为偶数,因此尸也必为偶数.这就与a,B互素的假设矛盾,因此正方形的对角线与其一边 就构成不可公度量 不可公度量的发现,大约是在公元前170年左右,当时毕达哥拉斯早已不在人世.传 说学派成员希帕苏斯( Hippasus)发现了不可公度性,当时他们正在海上泛舟集会,希帕 苏斯说出他的发现后惊恐不已的其他成员将他抛进了大海.还有一种说法是希帕苏斯因 泄露了不可公度的秘密而遭此厄运 16