早期的算术与几何 第一讲 记数与测量 尼罗河下游的古埃及、两河流域的古巴比伦、恒河与印度河畔的古代印度以及黄河与 长江流域的古代中国并称“四大文明古国”,创造了灿烂辉煌的“河谷文明”,早期的数学 就诞生在这些地方 人类在长期的生产实践和与自然斗争的过程中,逐渐掌握了丰富的科学知识.土地面 积的丈量、商品的交易以及大规模宫殿的建造,无疑都要使用较高深的数学知识 在大量的生产和生活实践活动的基础上,四个地区的古代先民们对数学—空间形式 和数量关系的研究各具特色,成绩斐然.就已有的数学史料看,古埃及与古巴比伦的数学 历史最为久远 古埃及的数学 古埃及位于非洲东北部的尼罗河两岸.公元前525年,波斯入侵,埃及成为波斯帝国 的一个郡.公元前332年以后,该地区处于希腊人的统治之下,所创造的数学归入希腊数 学的范围.而古埃及数学一般指公元前6世纪以前这个地区所创造的数学 1.象形文字中的数字记法 古埃及最古老的文字是象形文,大约在公元前3000年就已形成,如图1-1 亠g》←二 》志y西 图1-1古埃及的象形文 在古埃及的象形文中已经出现代表数字的各种符号,各个符号所代表的数字如图12 所示.进位的基数是10,每个数字可能有几种写法1就是一个竖划,2到9依次累加, 10像拱门,100是一卷绳,1000像荷花,10000是一个指头,有时向左弯,有时向右弯, 1o0000有好几种写法,有时像青蛙或蝌蚪,有时像江鳕鱼或小鸟.在古埃及的第1王朝
第一讲早期的术与几何 第一 还出现过10的符号,像埃及的空间之神,最大的单位是10, 像初生的太阳其他的数可以通过这些数的简单累积来表示,伸 如数1235可以写作eenn E⊥A 在这种记数方法中,每一个较高的单位都要创设一个新符 号,记数时有多少单位就要重复多少次,上下左右书写均可.图12象形文中的数字 但符号毕竟是有限的,记太大的数就会显得捉襟见肘. 在远古时代,人们使用分数的需要还不迫切,但随着生产力的发展和人类文明的进 步,特别是进入青铜时代以后,分数及分数符号的产生就显得尤为重要,而且不可避免 象形文中用一种特殊的记号来表示分子为1的分数,这样的分数又称为单分数:在表示整 数的符号上画一个简单的椭圆,就表示该整数的倒数,如写成富,1写成,写成 下…在古埃及的另一种文字僧侣文中也有相应分数的记法 这些数字散见于古埃及时代的陶片、石头、木头或纸草上,在坟墓内、庙宇的墙上及 方尖塔上也能够见到 2.纸草书上的数学 在尼罗河三角洲地区盛产一种形如芦苇的水生植 物纸草.古埃及人用削尖的芦杆蘸上黑色或红色 颜料把文字写在纸草上 埃及的纸草文书为后世留下了大量珍贵的历史资 料,其中与数学有关的纸草书有两本.一本称为“莱 因德纸草书”,归伦敦大英博物馆所有,大约产生于公 元前1650年.另一本称为“莫斯科纸草书”,收藏在莫 斯科国立造型艺术博物馆.这本纸草书产生于公元前 1850左右,比莱因德纸草书产生得早,但重要性要稍 逊于莱因德纸草书 这两本数学纸草书都是用僧侣文写成的,全书共莱因德纸草书(上为全景下为騎部 有84个题目,是我们认识古埃及数学的主要依据.莱 因德纸草书的开头写到:“准确的计算,阐明一切黑暗的、秘密存在的事物的指南.”本书 大概是当时一种实用的计算手册,记述千余年来的一些数学问题 单分数 埃及数学中有一个独特现象:除用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写成若 干个单分数和的形式。莱茵德纸草书在前言之后就给出了形如2(m=5,7,9,…,101) 的分数分解为单分数和的表.利用这张表就可以把其他分数分解成单分数和的形式 埃及人为什么如此偏爱单分数,这个问题至今仍是一个未解之谜.有一种观点认为
CHAPTER 通高中课程标准买验歉科书数竽(谚修31 单分数就是从实际问题中产生的.假定有两个面包,要平均分配给5个人,问怎样分?如 果每人是不够,每人喜,余言再将这号分成5份,每人得吉这样每人分得十 再者,按埃及人的除法,所得的商是单分数之和.也许由于这些原因,单分数就成为古埃 及数学的一大特色 算木运算 僧侣文的记数法属于分级符号制(详见第1页),整数的加减法很简单,只要将表示 数目的符号累积起来,再转写成相应的符号即可.但分数的加减法却相当复杂,因为所有 的分数都要化成单分数 乘法是累加法,是以“倍乘”(即乘2)及“平分”(即乘)为基础进行的以25×18 为例(用现代的符号和术语): 25被乘数 8200 16 400 乘数18450积 先写125(表示1×25=25)作为第1行,再写250(表示2×25=50),以下同样 逐次加倍,加到16可不必再加,因为再加下去就超过乘数18了.从左列数(1,2,4, 8.…)中选出若干个,使其凑成18.本例是2与16,各打上*号,再将右列中与*号对 应的数相加,即得25×(2+16)=50+400=450 除法的原理一样,只不过将步骤颠倒过来 代数问题 书中有几个问题属于现在代数中的一元一次方程问题,其中一个是这样的:一个量 加上自身的七分之一等于19.现在的解法很简单,列方程为x+5=19.解得x=16 纸草书中的解法却非常烦琐,但结果却是正确的 几何问题 在纸草书上出现了一些求面积(如三角形、圆的面积)和体积(如四棱台体)的题 但得到的结果总体来说还不够精确.可以看出,尽管埃及是几何学的发源地,但其几何水 平却不高,始终处在实验阶段,还没有将它发展为系统的、理论的学科, 3几呵学的诞生 尼罗河是埃及的母亲河,通常在每年的7月中旬定期泛滥,11月后洪水逐渐消退,留 下肥沃的淤泥.这样来年就容易耕作,庄稼的丰收也就有了保障.埃及的几何学就起源于 尼罗河泛滥后的土地测量,这种说法最早出自古希腊的历史学家希罗多德( Herodotus
第一讲早期的算术与几何 第坪 约公元前484前424),他说:“塞索斯特里斯在全体埃及居民中把埃及的土地作了一次 划分.他把同样大小的正方形土地平均分配给所有人,而土地持有者每年向他缴纳租金, 作为他的主要收入.如果河水冲走了某人分得土地的任何一部分,这个人就可以将此事告 知国王,国王就会派人前来调查并测量损失地段的面积.今后的租金就要按照减少后的土 地面积来征收了.我想正是由于有了这样的做法,埃及才第一次有了几何学,而希腊人又 从那里学到了它” 埃及由土地的测量促使几何学的兴起,那些从事土地测量的人员有一个专名,叫做 “拉绳者”,可以说,这些拉绳者就是当时的几何学家 古埃及的“拉绳者” 古希腊的亚里士多德( Aristotle,公元前384前322)则从另一个角度说明几何学起 源于埃及,他在《形而上学》中写道:“在实用的技术发明之后,那些井不直接为生活的 需要或满足的科学才会产生出来.它首先出现在人们有闲暇的地方,数学科学最早在埃及 兴起,就是因为那里的祭司阶层享有足够的闲暇.” 从纸草书中记载的三角形、圆以及棱台体积的计算内容看,虽然埃及是儿何学的发源 地,但始终停留在实验阶段,几何学知识是零碎的、片段的,尚未形成完整的体系,还缺 乏逻辑因素,基本上看不到命题的证明,似乎还不知道勾股定理.直到公元前4世纪希腊 人占领了该地区以后,情况才发生了根本的变化 二两河流域的数学 亚洲西部的底格里斯河与幼发拉底河之间的地带,通常叫做美索布达米亚平原,美索 布达米亚语出希腊文,意思是“两河之间的地区”,故而这个地区也称为两河流域(今伊 拉克境内).像尼罗河一样,两河流域也是人类文明的摇篮.从公元前3000年到前200 年,这一地区(在今伊拉克和伊朗西部)所创造的数学,习惯统称为巴比伦数学 早在公元前四、五千年,两河流域的苏美尔人用削尖的芦苇杆或木棒在软泥板上写 字,泥板晒干后坚硬如石.由于这样的字形状像楔子,所以这种文字称为楔形文.苏美尔 人后,各民族继续使用楔形文,只是不同时期所使用的有所不同
CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数学(选修31 1.楔形文字中的记数法 19世纪初开始,两河流域陆续出土了大约50万块泥板.从内容看,几十万块泥板中 属于数学的仅300块左右,其中约200块是各种数表,包括乘法表、倒数表、平方表和立 方表等. 苏美尔人创造了锲形文字,后来传给了巴比伦人,巴比伦人发展成一套记数方法,是 10进和60进的混合物.60以下用10进的简单累数制,60以上用60进的位值制 在巴比伦的楔形文字中,数码符号只有两个:7表示1,<表示10.一个7表示1, 两个7表示2……九个7表示9.超过9的,一个表示10,两个<表示20……大于59 的数,巴比伦人则采用60进的位值记法.同一记号,根据它在数字表示中相对位置的不 同赋予不同的值.图1-3给出了1到130的数字符号 77mWWw册淠< qq收“TKKT7 122030 607080120130 图13楔形文中的数字 其中, =60×2+10=130 2泥板上的代数 从泥板的数学内容可以看出,古巴比伦人不但能计算各种复杂的算术问题,而且给出 了乘法表,并能求解一元二次方程 我们知道,代数与算术的根本区别在于代数引入了用符号表示的未知数,根据已知条 件列出方程,对未知数加以运算,最后解方程求出未知数.如果说未知数、符号和方程是 代数学的基本特征,那么代数只能说开始于法国数学家韦达(F. Vieta,1540-1603)等 人引进代数符号的16.17世纪.如果放宽条件,把引入未知数,可对未知数进行运算都 归入到代数的范畴,那么代数学至少在古埃及的纸草书和古巴比伦的泥板上就已经出 现了 在现藏美国耶鲁大学的一块古巴比伦数学泥板上,有一个典型的代数问题:已知两数 的积为60’,差为7,求这两个数.将泥板正反两面的楔形文字翻译过来就是计算过程 这个计算过程,除进位制不同之外.和现代的二次方程的求根公式完全一致,在数学 泥板中,这种二次方程的例子数以百计.这充分说明,虽然不具备现代的形式,但巴比伦 人已经知道二次方程的求根公式不过他们还不知道负数,因此,也不知道二次方程有两 个根 更加令人不可思议的是,巴比伦人甚至已经知道如何求解指数方程.例如有这样一个 复利问题:有一笔钱,年利率为20%,问经过多长时间后利息与本金相等?这实际上是求 6