差分方程模型（续） 4差分形式的阻滞增长模型 5按年龄分组的种群增长 数学建模
4 差分形式的阻滞增长模型 5 按年龄分组的种群增长 差分方程模型(续）
问题： 位研究昆虫的生物学家坚持多年到太平洋上 一个远离大陆和其他岛屿的小岛上去考察岛上蝴蝶 的数量变化。多年的抽样统计，发现一个奇怪的现 象：岛上的蝴蝶数量变化很不规律，忽多忽少。 假定岛上蝴蝶的数量只有一种，我们能不能用数 学模型来解释这一现象呢？ 敷学建棋
问题： 一位研究昆虫的生物学家坚持多年到太平洋上 一个远离大陆和其他岛屿的小岛上去考察岛上蝴蝶 的数量变化。多年的抽样统计，发现一个奇怪的现 象：岛上的蝴蝶数量变化很不规律，忽多忽少。 假定岛上蝴蝶的数量只有一种，我们能不能用数 学模型来解释这一现象呢？
4差分形式的阻滞增长模型 连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型) X0某种群时刻的数量（人）t()=rx(-) t→o,x→N,x=N是稳定平衡点（与r大小无关） 离散 y%某种群第k代的数量（人口） 形式 y-y=y0-.k=12, 若y=N,则+1k+2=Ny=N是平衡点 讨论平衡点的稳定性，即k-→o,y→N? 00 数学建模
( ) (1 ) N x x t = rx − +1 − = (1− ), k =1,2, N y y y ry k k k k 4 差分形式的阻滞增长模型 连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型) t→, x→N, x=N是稳定平衡点(与r大小无关) 离散 形式 x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口) yk ~某种群第k代的数量(人口) 若yk=N, 则yk+1 ,yk+2 ,…=N 讨论平衡点的稳定性，即k→, yk→N ？ y *=N 是平衡点
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性 x=0-为0=4gw 变量 代换 x,=G+1)N x4=bx(1-x)(2) 记b=r+1 虫口方程 阶（非线性）差分方程 ()的平衡点=N日2)的平衡点x= r+] 讨论x的稳定性 数学建模
k k y r N r x ( +1) = 记b = r +1 (1 ) (1) 1 N y y y ry k k+ − k = k − 离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性 + k+ = + k − k y r N r y r y ( 1) ( 1) 1 1 (1 ) (2) k 1 k k x = bx − x + 一阶(非线性)差分方程 (1)的平衡点y *=N 讨论 x * 的稳定性 变量 代换 (2)的平衡点 r b r x 1 1 1 * = − + = 虫口方程
补充知识 一 阶非线性差分方程x+1=f(x)(I)的平衡点及稳定性 (I)的平衡点x*一代数方程x=x)的根 (1)的近似线性方程 x+1=f(x)+f'(x(x-x)(2 稳定性判断 x*也是(2)的平衡点 f'(x)<】x*是(2)和1)的稳定平衡点 f'(x)>1x*是(2)和(1)的不稳定平衡点 数学建模
(1)的平衡点 x *——代数方程 x=f(x)的根 稳定性判断 ( ) ( )( ) (2) * * * 1 x f x f x x x k+ = + k − (1)的近似线性方程 x*也是(2)的平衡点 ( ) 1 * f x x*是(2)和(1)的稳定平衡点 ( ) 1 * f x x*是(2)和(1)的不稳定平衡点 补充知识 一阶非线性差分方程 ( ) (1) k 1 k x = f x + 的平衡点及稳定性