20 第五章 微分方程模型 1人口预测和控制 2交通流模型 3传染病模型（续）】 款学建模
第五章 微分方程模型 1 人口预测和控制 2 交通流模型 3 传染病模型（续）
人口预测和控制 指数增长模型 马尔萨斯 =x,x(0)=0 dx x(t)=xe dt 阻滞增长模型(Logistic模型 =rx=nl-） Xm dt m x(t)= Xm 1+( xm -D)e-m Xo 0 教学建模
1 人口预测和控制 指数增长模型——马尔萨斯 0 rx, x(0) x dt dx = = rt x t x e0 ( ) = 阻滞增长模型(Logistic模型) ( ) (1 ) m x x r x x rx dt dx = = − x t x x x e m m rt ( ) ( ) = + − − 1 1 0 t x 0 xm x0
人口发展方程 ·年龄分布对于人口预测的重要性 ·只考虑自然出生与死亡，不计迁移 F(r,t)~人口分布函数（年龄<r的人口） p(r,)~人口密度函数N(t)~人口总数 1n(>∞)~最高年龄 F(0,t)=0,F(rm,t)=N(t) ∂F p(r,t)= 数学建模
F(0,t) 0, F(r ,t) N(t) = m = r F p r t ( , ) = • 年龄分布对于人口预测的重要性 • 只考虑自然出生与死亡，不计迁移 人口发展方程 F(r,t) ~ 人口分布函数(年龄 r的人口） p(r,t) ~ 人口密度函数 N(t) ~ 人口总数 r m (→) ~ 最高年龄
人口发展方程 (r,)~死亡率 t,年龄[r,r t+dt,年龄[r+d) (t,t+dt)内 +dr]人数 r+d+dr]人数 d=dh死亡人数 ▣ p(r,t)dr -p(r+dn,t+dt)dr u(r,t)p(r,t)drdt [p(r+dr,t+dt)-p(r,t+dt)]+[p(r,t+dt)-p(r,t)] =-u(r,t)p(r,t)dt, dt=d :g-atpr小 阶偏微分方程 教学建模
(r,t) p(r,t) t p r p = − + 1 1 ( , ) ( , ) , [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ( , ) ] r t p r t dt dt dr p r dr t dt p r t dt p r t dt p r t = − = + + − + + + − 人口发展方程 (r,t) ~ 死亡率 p(r,t)dr 人数 年龄 ] , [ , dr t r r + 死亡人数 (t,t + dt)内 人数 年龄 ] , [ , 1 1 r dr dr t dt r dr + + + + dt = dr1 一阶偏微分方程 p(r dr,t dt)dr = (r,t) p(r,t)drdt − + 1 +
p+2=-4心，0p,） 人口发展方程 Or'Ot p(r,0)=p(r),r≥0~已知函数 (人口调查) p(0,t)=f(t),t≥0 生育率（控制人口手段》 p(0)=f(0) 相容性条件 阶偏微分方程的 Po(r 半无界问题 数学建棋
= = = − + (0, ) ( ), 0 ( ,0) ( ), 0 ( , ) ( , ) 0 p t f t t p r p r r r t p r t t p r p ~已知函数（人口调查） ~生育率（控制人口手段） 人口发展方程 0 t r ( ) 0 p r f (t) 一阶偏微分方程的 半无界问题 0 p f (0) (0) = --------相容性条件