第四节】 ezier曲面 教学建模 00
第四节 Bézier曲面
一.Bezier曲面的定义 定义6.4.1设P,=01,n,j=0,1m为n+)×(m+1） 个空间点列，则m×n次张量积形式的Bezier 曲面定义为： P,)=22P月，a)B) uvE i=0j=0 其中Bnu=Cm-wB.=Cy0-v) 是Bernstein基函数。依次用线段连接点 P,射0,1，…，mj=01,…,m)中相邻两点所形成的 空间网格，称之为特征网格。Bezier曲面的 矩阵表示式是： 数学建模
一. Bézier曲面的定义 定义6.4.1 设 P (i n j m) ij = 0,1, , = 0,1, 为 (n +1)(m +1) 个空间点列，则 mn 次张量积形式的Bézier 曲面定义为： ( , ) ( ) ( ) , 0,1 0 0 = , , = = P u v P B u B v u v m i n j i j i m j n 其中 ( ) ( ) i i m i i m m B u C u u − , = 1− ( ) ( ) j j n j j n m B v C v v − , = 1− 是Bernstein基函数。依次用线段连接点 P ( 列 i m j n) ij = 0,1, , ; = 0,1, , 中相邻两点所形成的 空间网格，称之为特征网格。Bézier曲面的 矩阵表示式是：
Bo.m B Pu,y)=[Bn(a,B(a),…,Bn(u】 Po .m P nm n.m 二.Bezier曲面的性质 Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier 曲面的四个角点，即 P0,0)=P。P1,0=P。 P0,1=P. P0,1)=Pm 2.Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier 曲面的四条边界；Bezierl曲面边界的跨界切矢只 与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关，且 数学建模
( ) ( ) ( ) ( ) = m m m m n n n m m m n n n n B B B P P P P P P P P P P u v B u B u B u , 1, 0, 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0, 1, , , , , , 二. Bézier ， 曲面的性质 Bézier曲面特征网格的四个角点正好是Bézier 曲面的四个角点，即 ( ) 0 00 P 0, = P ( ) 0 0 1, P = P m ( ) P 1 P0n 0, = ( ) P = P mn 1, 1 2. Bézier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bézier 曲面的四条边界；Bézier曲面边界的跨界切矢只 与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关，且
Poo Pon n Fom-1 Pmo P D m-1,02ml (图6.4.1阴影三角形) 分别是四个角点的切平面； 跨界二阶导矢只与定义 P(0,1)=P P(1,=P 该边界的及相邻两排顶 点有关。几何不变性、 P(0, P(1,) 凸包性、对称性等性质 D 可由Bezierl曲线的相关 P(0,0)=Po P(u,0) P(1,0)=P0 性质容易推广得到。 图6.4.1 数学建模
, P00P10P01 , P0n P1n P0,n−1 , Pm0 Pm−1,0 Pm1 （图6.4.1 阴影三角形） 分别是四个角点的切平面； 跨界二阶导矢只与定义 该边界的及相邻两排顶 点有关。几何不变性、 凸包性、对称性等性质 可由Bezier曲线的相关 性质容易推广得到 。 ( ) 00 P P 0,0 = ( ) 30 P P 1,0 = ( ) 03 P P 0,1 = ( ) 33 P P 1,1 = P01P02 P11 P12P10 P13 P20 P21 P22 P23 P31 P32 P v (0, ) P v (1, ) P u( ,0) P u( ,1) 图 6.4.1
三.BezierE曲面片的拼接 如图6.4.2所示，设两张m×n次Bezierl曲面片 21,1) Pa,-∑ΣPBaB. P(1,1)=2(0, 0a,)=Σ∑2，B.u)B.(付 2(u,) P(O.1YP(u.v) 21,0) u,ve0,1] 1,0)=2(0,0) P(C0) 分别由控制顶点，Q,定义。 图6.4.2 如果要求两曲面片达到G连续， 则它们有公共的边界，即： 教学建模
三. Bézier曲面片的拼接 如图6.4.2所示，设两张m×n次Bézier曲面片 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0, 1 , , 0 0 , , 0 0 , , = = = = = = u v Q u v Q B u B v P u v P B u B v m i n j ij i m j n m i n j ij i m j n P(0,1) P(0,0) Q(1,0) Q(1,1) P Q (1,1 0,1 ) = ( ) P Q (1,0 0,0 ) = ( ) P u v ( , ) Q u v ( , ) v u 图6.4.2 分别由控制顶点 , Pij Qij 定义。 如果要求两曲面片达到 0 G 连续， 则它们有公共的边界，即：