20 第五章 微分方程模型 第一讲传染病模型 款学建模
第五章 微分方程模型 第一讲 传染病模型
·描述对象特征随时间（空间）的演变过程 动态 棋型 ·分析对象特征的变化规律 ·预报对象特征的未来性态 ·研究控制对象特征的手段 微分 ·根据函数及其变化率之间的关系确定函数 方程 •根据建模目的和问题分析作出简化假设 建棋 ·按照内在规律或用类比法建立微分方程 数学建模
动态 模型 • 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段 微分 • 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 方程 建模 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
模型1 传染病模型 问题 ·描述传染病的传播过程 ·分析受感染人数的变化规律 ·预报传染病高潮到来的时刻 ·预防传染病蔓延的手段 ·按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型 数学建模
模型1 传染病模型 问题 • 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
传染病模型 模型1 已感染人数（病人）) 假设 ·每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为入 建模 i(t+△t)-i(t=2i(t)△ di =八i i(t)=i,e“ dt i(0)=0 0t>0→i->0? 若有效接触的是病人， 必须区分已感染者（病 则不能使病人数增加 人)和未感染者（健康人） 教学建模
已感染人数 (病人) i(t) • 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为 模型1 假设 i(t + t) −i(t) = i(t)t 若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加 必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人) 建模 0 i(0) i i dt di = = t → i → t i t i e 0 ( ) = ? 传染病模型
传染病模型 模型2 区分已感染者（病人）和未感染者（健康人） 假设 1)总人数N不变，病人和健康 人的比例分别为i(t),s(t) SI模型 2)每个病人每天有效接触人数 2~日 为几，且使接触的健康人致病 接触率 建模 N[i(t+△t)-i(t)]=[2s(t)]Ni(t)△t di Asi di dt dt =2(1-) s(t)+i(t)=1 i(0)=i。 数学建模
si dt di = s(t) + i(t) =1 模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 假设 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i(t),s(t) 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病 建模 N[i(t + t) −i(t)] =[s(t)]Ni(t)t = = − 0 (0) (1 ) i i i i dt di ~ 日 接触率 SI 模型 传染病模型